ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 775 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что коэффициенты \( b \) и \( c \) уравнения \( x^2 + bx + c = 0 \), где \( c \neq 0 \), являются его корнями. Найдите \( b \) и \( c \).

Дано уравнение \( x^2 + bx + c = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -b \) и \( x_1 x_2 = c \).

Из условия задачи составляем систему:
\( \begin{cases} b + c = -b \\ bc = c \end{cases} \)

Из второго уравнения: \( bc = c \Rightarrow c(b — 1) = 0 \).

Следовательно, либо \( c = 0 \), либо \( b = 1 \).

Если \( c = 0 \), то из первого уравнения: \( b = -b \Rightarrow b = 0 \).
Проверка: \( b + c = 0 + 0 = 0 \) и \( -b = 0 \) ✓, но \( bc = 0 \) ✓.

Если \( b = 1 \), то из первого уравнения: \( 1 + c = -1 \Rightarrow c = -2 \).
Проверка: \( b + c = 1 — 2 = -1 \) и \( -b = -1 \) ✓, \( bc = 1 \cdot (-2) = -2 \) и \( c = -2 \) ✓.

Ответ: \( b = 1, c = -2 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + bx + c = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета известно, что сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -b \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = c \). Эти соотношения являются фундаментальными для решения задачи, так как они связывают коэффициенты уравнения с его корнями и позволяют составить систему уравнений на основе дополнительных условий, которые накладываются на коэффициенты \( b \) и \( c \).

Из условия задачи мы имеем два дополнительных соотношения: \( b + c = -b \) и \( bc = c \). Первое соотношение получается из того, что сумма коэффициентов \( b \) и \( c \) равна противоположному значению коэффициента \( b \), а второе соотношение говорит о том, что произведение коэффициентов \( b \) и \( c \) равно самому коэффициенту \( c \). Таким образом, мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: \( \begin{cases} b + c = -b \\ bc = c \end{cases} \). Эта система позволяет нам найти конкретные значения коэффициентов \( b \) и \( c \).

Начнём с анализа второго уравнения системы \( bc = c \). Перенесём все члены в левую часть: \( bc — c = 0 \). Вынесем общий множитель \( c \) за скобки: \( c(b — 1) = 0 \). Из этого произведения следует, что либо \( c = 0 \), либо \( b — 1 = 0 \), то есть \( b = 1 \). Таким образом, мы получаем два возможных случая, которые необходимо рассмотреть отдельно.

Рассмотрим первый случай, когда \( c = 0 \). Подставим это значение в первое уравнение системы: \( b + 0 = -b \). Получаем \( b = -b \), откуда \( 2b = 0 \) и \( b = 0 \). Проверим это решение: если \( b = 0 \) и \( c = 0 \), то первое условие даёт \( 0 + 0 = -0 \), что верно, и второе условие даёт \( 0 \cdot 0 = 0 \), что также верно. Однако в этом случае уравнение принимает вид \( x^2 = 0 \), что означает двойной корень \( x = 0 \). Хотя это решение удовлетворяет условиям, оно может быть не единственным.

Рассмотрим второй случай, когда \( b = 1 \). Подставим это значение в первое уравнение системы: \( 1 + c = -1 \). Решая это уравнение, получаем \( c = -1 — 1 = -2 \). Проверим это решение: если \( b = 1 \) и \( c = -2 \), то первое условие даёт \( 1 + (-2) = -1 = -1 \), что верно, и второе условие даёт \( 1 \cdot (-2) = -2 = c \), что также верно. В этом случае уравнение принимает вид \( x^2 + x — 2 = 0 \). Найдём корни этого уравнения через дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни равны \( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \). Проверим теорему Виета: \( x_1 + x_2 = 1 + (-2) = -1 = -b \) и \( x_1 x_2 = 1 \cdot (-2) = -2 = c \), всё совпадает.

Сравнивая оба случая, видим, что первый случай \( b = 0, c = 0 \) хотя и удовлетворяет условиям, приводит к вырожденному уравнению. Второй случай \( b = 1, c = -2 \) даёт полноценное квадратное уравнение с двумя различными корнями. Исходя из контекста задачи и стандартной практики, когда ищут нетривиальные решения, выбираем \( b = 1 \) и \( c = -2 \). Это решение полностью удовлетворяет всем условиям задачи и представляет собой единственное содержательное решение.