ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 776 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выразите через \( p \) и \( q \) сумму квадратов корней уравнения \( x^2 + px + q = 0 \).

Дано уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).

По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q \)

Найдём \( x_1^2 + x_2^2 \):

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q \)

Ответ: \( p^2 — 2q \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). Необходимо найти сумму квадратов корней \( x_1^2 + x_2^2 \). Для решения этой задачи применяются формулы Виета, которые связывают коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней. Эти формулы являются фундаментальным инструментом в алгебре и позволяют работать с корнями уравнения, не вычисляя их явно.

По теореме Виета для квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) справедливы следующие соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). Эти формулы вытекают из того, что квадратное уравнение можно разложить в виде \( (x — x_1)(x — x_2) = x^2 — (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0 \). Сравнивая с исходным уравнением \( x^2 + px + q = 0 \), получаем, что коэффициент при \( x \) равен \( -(x_1 + x_2) = p \), откуда следует \( x_1 + x_2 = -p \), а свободный член равен произведению корней \( x_1 x_2 = q \).

Для нахождения суммы квадратов корней воспользуемся алгебраическим тождеством. Известно, что \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \). Перепишем это выражение в виде \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \). Это ключевое соотношение позволяет выразить сумму квадратов через сумму и произведение корней, которые нам известны из теоремы Виета.

Подставим значения из теоремы Виета в полученное выражение. Имеем \( x_1 + x_2 = -p \) и \( x_1 x_2 = q \). Тогда \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q \). При возведении \( (-p) \) в квадрат получаем \( p^2 \), поскольку квадрат отрицательного числа всегда положителен. Таким образом, окончательное выражение для суммы квадратов корней имеет вид \( x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2q \).

Полученный результат \( p^2 — 2q \) зависит только от коэффициентов исходного уравнения и не требует знания самих корней. Это демонстрирует мощь теоремы Виета, которая позволяет находить различные комбинации корней через коэффициенты уравнения. Формула \( x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2q \) часто используется в задачах на исследование свойств корней квадратного уравнения, при нахождении суммы кубов корней и других симметричных функций от корней.