ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 777 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что сумма квадратов корней уравнения \( x^2 — 15x + q = 0 \) равна 153. Найдите \( q \).

Дано уравнение \( x^2 — 15x + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \), такими что \( x_1^2 + x_2^2 = 153 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 15 \) и \( x_1 x_2 = q \).

Используем формулу \( (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = x_1^2 + x_2^2 \):

\( 15^2 — 2q = 153 \)

\( 225 — 2q = 153 \)

\( 2q = 225 — 153 \)

\( 2q = 72 \)

\( q = 36 \)

Ответ: \( q = 36 \).

Дано квадратное уравнение \( x^2 — 15x + q = 0 \), у которого есть два корня \( x_1 \) и \( x_2 \). Известно, что сумма квадратов этих корней равна 153, то есть \( x_1^2 + x_2^2 = 153 \). Необходимо найти значение параметра \( q \), который по теореме Виета равен произведению корней \( x_1 x_2 = q \).

Применим теорему Виета для квадратного уравнения \( x^2 — 15x + q = 0 \). Согласно этой теореме, сумма корней равна коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком, то есть \( x_1 + x_2 = 15 \). Произведение корней равно свободному члену, поэтому \( x_1 x_2 = q \). Эти соотношения являются фундаментальными для решения задачи, так как они связывают неизвестные корни с известными коэффициентами уравнения.

Для нахождения \( q \) используем алгебраическую формулу, которая связывает сумму квадратов корней с их суммой и произведением. Эта формула выглядит следующим образом: \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \). Переставляя члены, получаем: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \). Эта формула позволяет выразить сумму квадратов через сумму и произведение корней, что очень удобно для решения нашей задачи.

Подставим известные значения в полученную формулу. Мы знаем, что \( x_1^2 + x_2^2 = 153 \), \( x_1 + x_2 = 15 \) и \( x_1 x_2 = q \). Подставляя эти значения в формулу \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \), получаем: \( 153 = 15^2 — 2q \). Вычислим квадрат числа 15: \( 15^2 = 225 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( 153 = 225 — 2q \).

Решаем полученное линейное уравнение относительно неизвестной \( q \). Перенесем член \( 2q \) в левую часть, а число 153 в правую часть: \( 2q = 225 — 153 \). Выполняем вычитание: \( 225 — 153 = 72 \), поэтому \( 2q = 72 \). Разделим обе части уравнения на 2: \( q = \frac{72}{2} = 36 \). Таким образом, параметр \( q \) равен 36.

Проверим полученный результат, подставив \( q = 36 \) обратно в исходное уравнение \( x^2 — 15x + 36 = 0 \). Найдем корни этого уравнения, используя дискриминант: \( D = 15^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 — 144 = 81 \). Корни уравнения: \( x_1 = \frac{15 + \sqrt{81}}{2} = \frac{15 + 9}{2} = 12 \) и \( x_2 = \frac{15 — \sqrt{81}}{2} = \frac{15 — 9}{2} = 3 \). Проверим условие: \( x_1^2 + x_2^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153 \). Условие выполнено, что подтверждает правильность найденного значения.

Таким образом, значение параметра \( q = 36 \).