Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 778 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Квадрат разности корней уравнения \( x^2 + px + 405 = 0 \) равен 144. Найдите \( p \).
Дано уравнение \( x^2 + px + 405 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \), для которых выполняются условия:
\( (x_1 — x_2)^2 = 144 \)
\( x_1 + x_2 = -p \)
\( x_1 \cdot x_2 = 405 \)
Используем тождество:
\( (x_1 + x_2)^2 — (x_1 — x_2)^2 = p^2 — 144 \)
Раскроем скобки:
\( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 — x_1^2 + 2x_1x_2 — x_2^2 = p^2 — 144 \)
\( 4x_1x_2 = p^2 — 144 \)
Подставим \( x_1 \cdot x_2 = 405 \):
\( 4 \cdot 405 = p^2 — 144 \)
\( 1620 = p^2 — 144 \)
\( p^2 = 1764 \)
\( p = \pm 42 \)
Ответ: \( p = \pm 42 \)
Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + 405 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета для этого уравнения справедливы соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = 405 \). Кроме того, в задаче дано дополнительное условие, что \( (x_1 — x_2)^2 = 144 \). Это условие означает, что разность между корнями по абсолютной величине равна 12, то есть \( |x_1 — x_2| = 12 \). Наша задача состоит в том, чтобы найти значение параметра \( p \), используя все три условия одновременно.
Для решения этой задачи воспользуемся алгебраическим тождеством, которое связывает сумму корней, их разность и параметр \( p \). Раскроем выражение \( (x_1 + x_2)^2 — (x_1 — x_2)^2 \). Когда мы раскрываем первую скобку, получаем \( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \). Когда раскрываем вторую скобку со знаком минус, получаем \( -(x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2) = -x_1^2 + 2x_1x_2 — x_2^2 \). Складывая эти выражения, видим, что квадраты \( x_1^2 \) и \( x_2^2 \) сокращаются, и остаётся \( 4x_1x_2 \). Таким образом, мы получаем ключевое соотношение: \( (x_1 + x_2)^2 — (x_1 — x_2)^2 = 4x_1x_2 \).
Теперь подставим известные нам значения в это соотношение. Поскольку \( x_1 + x_2 = -p \), то \( (x_1 + x_2)^2 = p^2 \). Из условия задачи \( (x_1 — x_2)^2 = 144 \). Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = 405 \). Подставляя эти значения в наше тождество, получаем: \( p^2 — 144 = 4 \cdot 405 \). Вычислим правую часть: \( 4 \cdot 405 = 1620 \). Следовательно, \( p^2 — 144 = 1620 \), откуда \( p^2 = 1620 + 144 = 1764 \).
Для нахождения \( p \) извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения \( p^2 = 1764 \). Заметим, что \( 1764 = 42^2 \), поскольку \( 42 \cdot 42 = 1764 \). Поэтому \( p = \pm 42 \). Оба значения являются допустимыми решениями задачи, так как квадратное уравнение с коэффициентом \( p = 42 \) и с коэффициентом \( p = -42 \) оба удовлетворяют исходным условиям. При \( p = 42 \) уравнение имеет вид \( x^2 + 42x + 405 = 0 \), а при \( p = -42 \) уравнение имеет вид \( x^2 — 42x + 405 = 0 \). В обоих случаях произведение корней остаётся равным 405, а разность корней по модулю равна 12, что соответствует условию \( (x_1 — x_2)^2 = 144 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!