ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 778 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Квадрат разности корней уравнения \( x^2 + px + 405 = 0 \) равен 144. Найдите \( p \).

Дано уравнение \( x^2 + px + 405 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \), для которых выполняются условия:

\( (x_1 — x_2)^2 = 144 \)

\( x_1 + x_2 = -p \)

\( x_1 \cdot x_2 = 405 \)

Используем тождество:

\( (x_1 + x_2)^2 — (x_1 — x_2)^2 = p^2 — 144 \)

Раскроем скобки:

\( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 — x_1^2 + 2x_1x_2 — x_2^2 = p^2 — 144 \)

\( 4x_1x_2 = p^2 — 144 \)

Подставим \( x_1 \cdot x_2 = 405 \):

\( 4 \cdot 405 = p^2 — 144 \)

\( 1620 = p^2 — 144 \)

\( p^2 = 1764 \)

\( p = \pm 42 \)

Ответ: \( p = \pm 42 \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + 405 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета для этого уравнения справедливы соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = 405 \). Кроме того, в задаче дано дополнительное условие, что \( (x_1 — x_2)^2 = 144 \). Это условие означает, что разность между корнями по абсолютной величине равна 12, то есть \( |x_1 — x_2| = 12 \). Наша задача состоит в том, чтобы найти значение параметра \( p \), используя все три условия одновременно.

Для решения этой задачи воспользуемся алгебраическим тождеством, которое связывает сумму корней, их разность и параметр \( p \). Раскроем выражение \( (x_1 + x_2)^2 — (x_1 — x_2)^2 \). Когда мы раскрываем первую скобку, получаем \( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \). Когда раскрываем вторую скобку со знаком минус, получаем \( -(x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2) = -x_1^2 + 2x_1x_2 — x_2^2 \). Складывая эти выражения, видим, что квадраты \( x_1^2 \) и \( x_2^2 \) сокращаются, и остаётся \( 4x_1x_2 \). Таким образом, мы получаем ключевое соотношение: \( (x_1 + x_2)^2 — (x_1 — x_2)^2 = 4x_1x_2 \).

Теперь подставим известные нам значения в это соотношение. Поскольку \( x_1 + x_2 = -p \), то \( (x_1 + x_2)^2 = p^2 \). Из условия задачи \( (x_1 — x_2)^2 = 144 \). Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = 405 \). Подставляя эти значения в наше тождество, получаем: \( p^2 — 144 = 4 \cdot 405 \). Вычислим правую часть: \( 4 \cdot 405 = 1620 \). Следовательно, \( p^2 — 144 = 1620 \), откуда \( p^2 = 1620 + 144 = 1764 \).

Для нахождения \( p \) извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения \( p^2 = 1764 \). Заметим, что \( 1764 = 42^2 \), поскольку \( 42 \cdot 42 = 1764 \). Поэтому \( p = \pm 42 \). Оба значения являются допустимыми решениями задачи, так как квадратное уравнение с коэффициентом \( p = 42 \) и с коэффициентом \( p = -42 \) оба удовлетворяют исходным условиям. При \( p = 42 \) уравнение имеет вид \( x^2 + 42x + 405 = 0 \), а при \( p = -42 \) уравнение имеет вид \( x^2 — 42x + 405 = 0 \). В обоих случаях произведение корней остаётся равным 405, а разность корней по модулю равна 12, что соответствует условию \( (x_1 — x_2)^2 = 144 \).