ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 779 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( 3x^2 + 2x + k = 0 \), причём \( 2x_1 = -3x_2 \). Найдите \( k \).

Дано уравнение \( 3x^2 + 2x + k = 0 \)

Разделим на 3: \( x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{k}{3} = 0 \)

По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} \)
\( x_1 x_2 = \frac{k}{3} \)

Из условия задачи (по фото): \( x_1 = -\frac{3}{2}x_2 \)

Подставим в первое соотношение:
\( -\frac{3}{2}x_2 + x_2 = -\frac{2}{3} \)

\( -\frac{1}{2}x_2 = -\frac{2}{3} \)

\( x_2 = \frac{4}{3} \)

Найдём \( x_1 \):
\( x_1 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = -2 \)

Найдём \( k \) из произведения корней:
\( x_1 x_2 = \frac{k}{3} \)

\( (-2) \cdot \frac{4}{3} = \frac{k}{3} \)

\( -\frac{8}{3} = \frac{k}{3} \)

\( k = -8 \)

Ответ: \( k = -8 \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( 3x^2 + 2x + k = 0 \), для которого необходимо найти значение параметра \( k \) при условии, что между корнями существует определённое соотношение. Для упрощения работы с этим уравнением разделим обе части на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 3. Это позволит нам привести уравнение к приведённому виду, с которым удобнее работать при применении теоремы Виета. После деления получаем \( x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{k}{3} = 0 \).

По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения вида \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна коэффициенту \( p \) с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену \( q \). Применяя эту теорему к нашему уравнению, получаем два фундаментальных соотношения: сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} \) и произведение корней \( x_1 x_2 = \frac{k}{3} \). Эти соотношения будут ключевыми при решении задачи, так как они связывают неизвестные корни с коэффициентами уравнения.

Из условия задачи, которое видно на фотографии, известно, что между корнями существует линейное соотношение вида \( x_1 = -\frac{3}{2}x_2 \). Это означает, что первый корень выражается через второй корень с коэффициентом \( -\frac{3}{2} \). Подставим это соотношение в формулу суммы корней: \( -\frac{3}{2}x_2 + x_2 = -\frac{2}{3} \). Приведём левую часть к общему знаменателю, вынеся \( x_2 \) за скобки: \( x_2 \left( -\frac{3}{2} + 1 \right) = -\frac{2}{3} \). Вычислим выражение в скобках: \( -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \).

Таким образом, получаем уравнение \( -\frac{1}{2}x_2 = -\frac{2}{3} \). Для решения этого уравнения относительно \( x_2 \) умножим обе части на \( -2 \), чтобы избавиться от коэффициента при \( x_2 \). Получаем: \( x_2 = -\frac{2}{3} \cdot (-2) = \frac{4}{3} \). Теперь, когда мы знаем значение второго корня, можем найти первый корень, подставив найденное значение в соотношение \( x_1 = -\frac{3}{2}x_2 \). Вычисляем: \( x_1 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6} = -2 \).

Проверим корректность найденных корней, подставив их в формулу суммы: \( x_1 + x_2 = -2 + \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \). Результат совпадает с требуемой суммой, что подтверждает правильность наших вычислений. Теперь используем формулу произведения корней для определения параметра \( k \). Подставим найденные корни в соотношение \( x_1 x_2 = \frac{k}{3} \): \( (-2) \cdot \frac{4}{3} = \frac{k}{3} \).

Вычислим левую часть: \( (-2) \cdot \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} \). Получаем уравнение \( -\frac{8}{3} = \frac{k}{3} \). Умножив обе части на 3, избавляемся от знаменателя: \( -8 = k \). Таким образом, параметр \( k = -8 \). Для окончательной проверки подставим найденное значение \( k \) в исходное уравнение и убедимся, что оба найденные корни действительно являются его решениями. Исходное уравнение принимает вид \( 3x^2 + 2x — 8 = 0 \). Проверим корень \( x_1 = -2 \): \( 3(-2)^2 + 2(-2) — 8 = 3 \cdot 4 — 4 — 8 = 12 — 4 — 8 = 0 \). Проверим корень \( x_2 = \frac{4}{3} \): \( 3 \left( \frac{4}{3} \right)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} — 8 = 3 \cdot \frac{16}{9} + \frac{8}{3} — 8 = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} — 8 = \frac{24}{3} — 8 = 8 — 8 = 0 \). Оба корня удовлетворяют уравнению, что подтверждает правильность найденного значения параметра.