Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 780 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Известно, что \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 — 8x + k = 0 \), причём \( 3x_1 + 4x_2 = 29 \). Найдите \( k \).
Дано уравнение \( x^2 — 8x + k = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \) и \( x_1 x_2 = k \).
Из системы условий:
\( \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 = 29 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases} \)
Умножим второе уравнение на 3: \( 3x_1 + 3x_2 = 24 \).
Вычтем из первого уравнения: \( 3x_1 + 4x_2 — 3x_1 — 3x_2 = 29 — 24 \), откуда \( x_2 = 5 \).
Тогда \( x_1 = 8 — 5 = 3 \).
Следовательно, \( k = x_1 x_2 = 3 \cdot 5 = 15 \).
Ответ: \( k = 15 \).
Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 — 8x + k = 0 \), у которого есть два корня \( x_1 \) и \( x_2 \). Нам нужно найти значение параметра \( k \), используя дополнительные условия, которые связывают корни уравнения. Для решения этой задачи применим теорему Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Согласно теореме Виета, для уравнения вида \( x^2 — 8x + k = 0 \) сумма корней равна \( x_1 + x_2 = 8 \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = k \). Эти соотношения являются фундаментальными и позволяют нам работать с корнями, не находя их в явном виде.
Из условия задачи известна система уравнений, связывающая корни: \( 3x_1 + 4x_2 = 29 \) и \( x_1 + x_2 = 8 \). Первое уравнение системы представляет собой линейную комбинацию корней с определёнными коэффициентами, а второе уравнение — это прямое следствие теоремы Виета. Для решения этой системы используем метод исключения переменной. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициент при \( x_1 \) в обоих уравнениях совпадал: \( 3 \left( x_1 + x_2 \right) = 3 \cdot 8 \), откуда получаем \( 3x_1 + 3x_2 = 24 \). Теперь у нас есть два уравнения с одинаковым коэффициентом при \( x_1 \): первое уравнение \( 3x_1 + 4x_2 = 29 \) и преобразованное второе \( 3x_1 + 3x_2 = 24 \).
Вычтем второе уравнение из первого: \( \left( 3x_1 + 4x_2 \right) — \left( 3x_1 + 3x_2 \right) = 29 — 24 \). При вычитании члены \( 3x_1 \) взаимно сокращаются, и мы получаем \( 4x_2 — 3x_2 = 5 \), что даёт нам \( x_2 = 5 \). Это значение является одним из корней исходного квадратного уравнения. Теперь, зная \( x_2 = 5 \), подставим его в уравнение \( x_1 + x_2 = 8 \), чтобы найти второй корень: \( x_1 + 5 = 8 \), откуда \( x_1 = 3 \). Таким образом, оба корня уравнения определены: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 5 \).
Теперь, имея оба корня, можем найти значение параметра \( k \), используя формулу произведения корней из теоремы Виета. По определению, \( k = x_1 x_2 = 3 \cdot 5 = 15 \). Проверим полученный результат, подставив найденное значение \( k = 15 \) в исходное уравнение: \( x^2 — 8x + 15 = 0 \). Раскладывая это уравнение на множители, получаем \( \left( x — 3 \right) \left( x — 5 \right) = 0 \), что подтверждает, что корнями являются именно \( x = 3 \) и \( x = 5 \). Кроме того, проверим выполнение исходного условия: \( 3 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 9 + 20 = 29 \) — условие выполнено. Следовательно, \( k = 15 \) является правильным ответом.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!