ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 780 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 — 8x + k = 0 \), причём \( 3x_1 + 4x_2 = 29 \). Найдите \( k \).

Дано уравнение \( x^2 — 8x + k = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \) и \( x_1 x_2 = k \).

Из системы условий:
\( \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 = 29 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 3: \( 3x_1 + 3x_2 = 24 \).

Вычтем из первого уравнения: \( 3x_1 + 4x_2 — 3x_1 — 3x_2 = 29 — 24 \), откуда \( x_2 = 5 \).

Тогда \( x_1 = 8 — 5 = 3 \).

Следовательно, \( k = x_1 x_2 = 3 \cdot 5 = 15 \).

Ответ: \( k = 15 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 — 8x + k = 0 \), у которого есть два корня \( x_1 \) и \( x_2 \). Нам нужно найти значение параметра \( k \), используя дополнительные условия, которые связывают корни уравнения. Для решения этой задачи применим теорему Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Согласно теореме Виета, для уравнения вида \( x^2 — 8x + k = 0 \) сумма корней равна \( x_1 + x_2 = 8 \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = k \). Эти соотношения являются фундаментальными и позволяют нам работать с корнями, не находя их в явном виде.

Из условия задачи известна система уравнений, связывающая корни: \( 3x_1 + 4x_2 = 29 \) и \( x_1 + x_2 = 8 \). Первое уравнение системы представляет собой линейную комбинацию корней с определёнными коэффициентами, а второе уравнение — это прямое следствие теоремы Виета. Для решения этой системы используем метод исключения переменной. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициент при \( x_1 \) в обоих уравнениях совпадал: \( 3 \left( x_1 + x_2 \right) = 3 \cdot 8 \), откуда получаем \( 3x_1 + 3x_2 = 24 \). Теперь у нас есть два уравнения с одинаковым коэффициентом при \( x_1 \): первое уравнение \( 3x_1 + 4x_2 = 29 \) и преобразованное второе \( 3x_1 + 3x_2 = 24 \).

Вычтем второе уравнение из первого: \( \left( 3x_1 + 4x_2 \right) — \left( 3x_1 + 3x_2 \right) = 29 — 24 \). При вычитании члены \( 3x_1 \) взаимно сокращаются, и мы получаем \( 4x_2 — 3x_2 = 5 \), что даёт нам \( x_2 = 5 \). Это значение является одним из корней исходного квадратного уравнения. Теперь, зная \( x_2 = 5 \), подставим его в уравнение \( x_1 + x_2 = 8 \), чтобы найти второй корень: \( x_1 + 5 = 8 \), откуда \( x_1 = 3 \). Таким образом, оба корня уравнения определены: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 5 \).

Теперь, имея оба корня, можем найти значение параметра \( k \), используя формулу произведения корней из теоремы Виета. По определению, \( k = x_1 x_2 = 3 \cdot 5 = 15 \). Проверим полученный результат, подставив найденное значение \( k = 15 \) в исходное уравнение: \( x^2 — 8x + 15 = 0 \). Раскладывая это уравнение на множители, получаем \( \left( x — 3 \right) \left( x — 5 \right) = 0 \), что подтверждает, что корнями являются именно \( x = 3 \) и \( x = 5 \). Кроме того, проверим выполнение исходного условия: \( 3 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 9 + 20 = 29 \) — условие выполнено. Следовательно, \( k = 15 \) является правильным ответом.