Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 781 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Зная, что уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) имеет корни \( x_1 \) и \( x_2 \), составьте квадратное уравнение, имеющее корни:
а) \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \)
б) \( x_1 + 2 \) и \( x_2 + 2 \)
Дано уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_1 + x_2 = -p \) и \( x_1 x_2 = q \).
а) Для корней \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \):
Сумма корней: \( 3(x_1 + x_2) = -3p \)
Произведение корней: \( 3x_1 \cdot 3x_2 = 9q \)
Получим уравнение: \( x^2 + 3px + 9q = 0 \)
б) Для корней \( x_1 + 2 \) и \( x_2 + 2 \):
Сумма корней: \( x_1 + 2 + x_2 + 2 = 4 + x_1 + x_2 = 4 — p \)
Произведение корней: \( (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = \) \( = q — 2p + 4 \)
Получим уравнение: \( x^2 — (4 — p)x + (q — 2p + 4) = 0 \)
а) Для нахождения уравнения с корнями \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \) применяем теорему Виета. Исходное уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) имеет корни \( x_1 \) и \( x_2 \), для которых выполняются соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). Эти формулы являются следствием теоремы Виета и позволяют связать коэффициенты уравнения с его корнями.
Когда мы преобразуем корни в \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \), нам необходимо найти новую сумму и новое произведение этих преобразованных корней. Сумма новых корней вычисляется как \( 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) = 3 \cdot (-p) = -3p \). Произведение новых корней равно \( 3x_1 \cdot 3x_2 = 9x_1 x_2 = 9q \). По теореме Виета, если сумма корней равна \( -3p \), то коэффициент при \( x \) в новом уравнении будет \( 3p \), а если произведение корней равно \( 9q \), то свободный член будет \( 9q \).
Таким образом, уравнение с корнями \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \) имеет вид: \( x^2 + 3px + 9q = 0 \). Это уравнение получается путём прямого применения теоремы Виета к новым корням, где каждый исходный корень умножен на коэффициент 3. Проверка: если подставить \( x = 3x_1 \) в полученное уравнение, то \( (3x_1)^2 + 3p(3x_1) + 9q = 9x_1^2 + 9px_1 + 9q = 9(x_1^2 + px_1 + q) = 9 \cdot 0 = 0 \), что подтверждает корректность результата.
б) Для нахождения уравнения с корнями \( x_1 + 2 \) и \( x_2 + 2 \) также используем теорему Виета, но с более сложным преобразованием. Сначала вычислим сумму новых корней: \( (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = x_1 + x_2 + 4 = -p + 4 = 4 — p \). Это выражение показывает, что новая сумма корней зависит как от исходной суммы \( -p \), так и от добавленной константы 4. Коэффициент при \( x \) в новом уравнении будет равен \( -(4 — p) = p — 4 \), или, переписав в стандартном виде, уравнение будет содержать слагаемое \( -(4 — p)x \).
Теперь найдём произведение новых корней, которое является более сложным выражением: \( (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 =\) \(= q + 2(-p) + 4 = q — 2p + 4 \). Это произведение состоит из трёх компонент: исходного произведения \( q \), удвоенной суммы исходных корней \( 2(-p) = -2p \) и константы 4. Свободный член нового уравнения будет равен \( q — 2p + 4 \).
По теореме Виета, уравнение с корнями \( x_1 + 2 \) и \( x_2 + 2 \) записывается в виде: \( x^2 — (4 — p)x + (q — 2p + 4) = 0 \). Это уравнение отражает сдвиг графика исходного уравнения на 2 единицы влево по оси абсцисс. Проверим корректность: если \( x = x_1 + 2 \), то \( (x_1 + 2)^2 — (4 — p)(x_1 + 2) + (q — 2p + 4) = x_1^2 + 4x_1 + 4 — (4 — p)x_1 -\) \(- (4 — p) \cdot 2 + q — 2p + 4 = x_1^2 + 4x_1 + 4 — 4x_1 + px_1 — 8 + 2p +\) \(+ q — 2p + 4 = x_1^2 + px_1 + q = 0 \), что подтверждает правильность полученного уравнения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!