Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 782 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Известно, что уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) имеет корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \( \frac{x_1}{x_2} \) и \( \frac{x_2}{x_1} \).
Дано уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -p \), \( x_1 x_2 = q \).
Найдём \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \):
\( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{p^2 — 2q}{q} = \frac{p^2}{q} — 2 \)
Найдём \( \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1 \).
Обозначим \( y = \frac{x_1}{x_2} \). Тогда \( y + \frac{1}{y} = \frac{p^2}{q} — 2 \) и \( y \cdot \frac{1}{y} = 1 \).
Величины \( y \) и \( \frac{1}{y} \) — корни уравнения:
\( t^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)t + 1 = 0 \)
или
\( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \)
Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета известно, что сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). Эти соотношения являются фундаментальными для решения задачи, так как позволяют выразить любые симметричные комбинации корней через коэффициенты исходного уравнения. В данной задаче требуется найти новое уравнение, корнями которого являются отношения \( \frac{x_1}{x_2} \) и \( \frac{x_2}{x_1} \).
Для построения нового уравнения необходимо найти сумму и произведение его корней. Начнём с вычисления суммы \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \). Приведём эту сумму к общему знаменателю: \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} \). Числитель можно преобразовать, используя формулу квадрата суммы: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 \). Подставляя соотношения Виета, получаем \( x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q \). Следовательно, сумма корней нового уравнения равна \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{p^2 — 2q}{q} = \frac{p^2}{q} — 2 \).
Теперь найдём произведение корней нового уравнения: \( \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1 x_2}{x_1 x_2} = 1 \). Это произведение всегда равно единице, независимо от значений \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета для нового уравнения, если обозначить его корни как \( y \) и \( z \), то уравнение имеет вид \( y^2 — (y + z)t + yz = 0 \), где \( y + z = \frac{p^2}{q} — 2 \) и \( yz = 1 \). Подставляя эти значения, получаем искомое уравнение: \( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \).
Это уравнение можно также записать в эквивалентной форме, раскрыв скобки: \( x^2 — \frac{p^2}{q}x + 2x + 1 = 0 \) или \( qx^2 — p^2 x + 2qx + q = 0 \), что после приведения подобных даёт \( qx^2 + (2q — p^2)x + q = 0 \). Однако стандартная форма записи остаётся \( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \). Важно отметить, что это уравнение имеет смысл только при условии \( q \neq 0 \), то есть когда оба корня исходного уравнения отличны от нуля, что гарантирует существование отношений \( \frac{x_1}{x_2} \) и \( \frac{x_2}{x_1} \).
Проверим корректность полученного результата. Если \( \frac{x_1}{x_2} \) является корнем нового уравнения, то он должен удовлетворять условию \( \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right) \cdot \frac{x_1}{x_2} + 1 = 0 \). Аналогично, \( \frac{x_2}{x_1} \) также является корнем этого уравнения. Сумма этих корней действительно равна \( \frac{p^2}{q} — 2 \), а их произведение равно \( 1 \), что подтверждает правильность построения уравнения. Таким образом, новое уравнение \( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \) полностью описывает связь между отношениями корней исходного уравнения и его коэффициентами.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!