ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 782 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) имеет корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \( \frac{x_1}{x_2} \) и \( \frac{x_2}{x_1} \).

Дано уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -p \), \( x_1 x_2 = q \).

Найдём \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \):

\( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{p^2 — 2q}{q} = \frac{p^2}{q} — 2 \)

Найдём \( \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1 \).

Обозначим \( y = \frac{x_1}{x_2} \). Тогда \( y + \frac{1}{y} = \frac{p^2}{q} — 2 \) и \( y \cdot \frac{1}{y} = 1 \).

Величины \( y \) и \( \frac{1}{y} \) — корни уравнения:

\( t^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)t + 1 = 0 \)

или

\( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета известно, что сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). Эти соотношения являются фундаментальными для решения задачи, так как позволяют выразить любые симметричные комбинации корней через коэффициенты исходного уравнения. В данной задаче требуется найти новое уравнение, корнями которого являются отношения \( \frac{x_1}{x_2} \) и \( \frac{x_2}{x_1} \).

Для построения нового уравнения необходимо найти сумму и произведение его корней. Начнём с вычисления суммы \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \). Приведём эту сумму к общему знаменателю: \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} \). Числитель можно преобразовать, используя формулу квадрата суммы: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 \). Подставляя соотношения Виета, получаем \( x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q \). Следовательно, сумма корней нового уравнения равна \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{p^2 — 2q}{q} = \frac{p^2}{q} — 2 \).

Теперь найдём произведение корней нового уравнения: \( \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1 x_2}{x_1 x_2} = 1 \). Это произведение всегда равно единице, независимо от значений \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета для нового уравнения, если обозначить его корни как \( y \) и \( z \), то уравнение имеет вид \( y^2 — (y + z)t + yz = 0 \), где \( y + z = \frac{p^2}{q} — 2 \) и \( yz = 1 \). Подставляя эти значения, получаем искомое уравнение: \( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \).

Это уравнение можно также записать в эквивалентной форме, раскрыв скобки: \( x^2 — \frac{p^2}{q}x + 2x + 1 = 0 \) или \( qx^2 — p^2 x + 2qx + q = 0 \), что после приведения подобных даёт \( qx^2 + (2q — p^2)x + q = 0 \). Однако стандартная форма записи остаётся \( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \). Важно отметить, что это уравнение имеет смысл только при условии \( q \neq 0 \), то есть когда оба корня исходного уравнения отличны от нуля, что гарантирует существование отношений \( \frac{x_1}{x_2} \) и \( \frac{x_2}{x_1} \).

Проверим корректность полученного результата. Если \( \frac{x_1}{x_2} \) является корнем нового уравнения, то он должен удовлетворять условию \( \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right) \cdot \frac{x_1}{x_2} + 1 = 0 \). Аналогично, \( \frac{x_2}{x_1} \) также является корнем этого уравнения. Сумма этих корней действительно равна \( \frac{p^2}{q} — 2 \), а их произведение равно \( 1 \), что подтверждает правильность построения уравнения. Таким образом, новое уравнение \( x^2 — \left(\frac{p^2}{q} — 2\right)x + 1 = 0 \) полностью описывает связь между отношениями корней исходного уравнения и его коэффициентами.