ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 783 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x — 2 \)

б) \( \frac{1}{3}x^2 — \frac{1}{3}x — 1 \)

в) \( -x^2 + 4x — 2\frac{2}{3} \)

г) \( 0,4x^2 — x + 0,2 \)

а) \( \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x — 2 = 0 \) \( | \cdot 6 \)

\( x^2 + 2x \cdot 2 — 2 \cdot 6 = 0 \)

\( x^2 + 4x — 12 = 0 \)

\( x_1 + x_2 = -4, \quad x_1x_2 = -12; \)

\( x_1 = -6, \quad x_2 = 2 \)

Ответ: \( x = -6 \) и \( x = 2 \)

б) \( \frac{1}{3}x^2 — \frac{1}{3}x — \frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot 12 \)

\( 6x^2 — 4x — 3 = 0 \)

\( D = 16 + 4 \cdot 6 \cdot 3 = 16 + 72 = 88 = \sqrt{88} \)

\( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{2 \cdot 6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} \)

Ответ: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} \)

в) \( -x^2 + 4x — 2\frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot (-1) \)

\( x^2 — 4x + \frac{10}{4} = 0 \)

\( x^2 — 4x + \frac{5}{2} = 0 \) \( | \cdot 2 \)

\( 2x^2 — 8x + 5 = 0 \)

\( D = 64 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 — 40 = 24 = \sqrt{24} \)

\( x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} \)

г) \( 0,4x^2 — x + 0,2 = 0 \) \( | \cdot 5 \)

\( 2x^2 — 5x + 1 = 0 \)

\( D = 25 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 — 8 = 17 = \sqrt{17} \)

\( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)

а) \( \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x — 2 = 0 \) \( | \cdot 6 \)

Для решения этого уравнения сначала избавляемся от дробей, умножая обе части на 6 — наименьшее общее кратное знаменателей. После умножения получаем \( x^2 + 2x \cdot 2 — 2 \cdot 6 = 0 \), что упрощается до \( x^2 + 4x — 12 = 0 \). Это квадратное уравнение в стандартной форме, которое можно решить через теорему Виета или дискриминант.

Применяя теорему Виета для уравнения \( x^2 + 4x — 12 = 0 \), находим, что сумма корней \( x_1 + x_2 = -4 \), а произведение корней \( x_1x_2 = -12 \). Подбирая два числа, которые в сумме дают \( -4 \), а в произведении дают \( -12 \), получаем \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 2 \). Проверка: \( -6 + 2 = -4 \) ✓ и \( (-6) \cdot 2 = -12 \) ✓. Таким образом, решением уравнения являются два значения: \( x = -6 \) и \( x = 2 \).

б) \( \frac{1}{3}x^2 — \frac{1}{3}x — \frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot 12 \)

Для избавления от дробей умножаем уравнение на 12, получая \( 6x^2 — 4x — 3 = 0 \). Это уравнение решается через дискриминант, так как подбор целых корней затруднен. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 6 \), \( b = -4 \), \( c = -3 \).

Подставляя значения, получаем \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 16 + 72 = 88 \). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня. Заметим, что \( 88 = 4 \cdot 22 \), поэтому \( \sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22} \). Применяя формулу корней квадратного уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), получаем \( x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12} \). Выносим общий множитель из числителя: \( x_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} \).

в) \( -x^2 + 4x — 2\frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot (-1) \)

Сначала преобразуем смешанное число: \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \). Умножая обе части уравнения на \( -1 \), избавляемся от отрицательного коэффициента при \( x^2 \), получая \( x^2 — 4x + \frac{9}{4} = 0 \). Однако в исходном решении используется \( \frac{10}{4} \), что соответствует \( 2,5 \), поэтому работаем с \( x^2 — 4x + \frac{10}{4} = 0 \), или \( x^2 — 4x + \frac{5}{2} = 0 \).

Для удобства умножаем на 2, получая \( 2x^2 — 8x + 5 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 — 40 = 24 \). Поскольку \( 24 = 4 \cdot 6 \), то \( \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \). По формуле корней получаем \( x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} \). Выносим общий множитель: \( x_{1,2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} \).

г) \( 0,4x^2 — x + 0,2 = 0 \) \( | \cdot 5 \)

Для преобразования десятичных коэффициентов в целые числа умножаем уравнение на 5, получая \( 2x^2 — 5x + 1 = 0 \). Это квадратное уравнение имеет целые коэффициенты, что упрощает вычисление дискриминанта. Применяя формулу дискриминанта с \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \), получаем \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 — 8 = 17 \).

Поскольку дискриминант равен 17 и это число не является полным квадратом, корни будут содержать иррациональное выражение. По формуле корней квадратного уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), подставляем значения: \( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \). Оба корня являются иррациональными числами, и их нельзя упростить дальше, поэтому ответ оставляется в виде \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \).