Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 783 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни квадратного трёхчлена:
а) \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x — 2 \)
б) \( \frac{1}{3}x^2 — \frac{1}{3}x — 1 \)
в) \( -x^2 + 4x — 2\frac{2}{3} \)
г) \( 0,4x^2 — x + 0,2 \)
а) \( \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x — 2 = 0 \) \( | \cdot 6 \)
\( x^2 + 2x \cdot 2 — 2 \cdot 6 = 0 \)
\( x^2 + 4x — 12 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = -4, \quad x_1x_2 = -12; \)
\( x_1 = -6, \quad x_2 = 2 \)
Ответ: \( x = -6 \) и \( x = 2 \)
б) \( \frac{1}{3}x^2 — \frac{1}{3}x — \frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot 12 \)
\( 6x^2 — 4x — 3 = 0 \)
\( D = 16 + 4 \cdot 6 \cdot 3 = 16 + 72 = 88 = \sqrt{88} \)
\( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{2 \cdot 6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} \)
Ответ: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} \)
в) \( -x^2 + 4x — 2\frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot (-1) \)
\( x^2 — 4x + \frac{10}{4} = 0 \)
\( x^2 — 4x + \frac{5}{2} = 0 \) \( | \cdot 2 \)
\( 2x^2 — 8x + 5 = 0 \)
\( D = 64 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 — 40 = 24 = \sqrt{24} \)
\( x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} \)
Ответ: \( x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} \)
г) \( 0,4x^2 — x + 0,2 = 0 \) \( | \cdot 5 \)
\( 2x^2 — 5x + 1 = 0 \)
\( D = 25 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 — 8 = 17 = \sqrt{17} \)
\( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)
Ответ: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)
а) \( \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x — 2 = 0 \) \( | \cdot 6 \)
Для решения этого уравнения сначала избавляемся от дробей, умножая обе части на 6 — наименьшее общее кратное знаменателей. После умножения получаем \( x^2 + 2x \cdot 2 — 2 \cdot 6 = 0 \), что упрощается до \( x^2 + 4x — 12 = 0 \). Это квадратное уравнение в стандартной форме, которое можно решить через теорему Виета или дискриминант.
Применяя теорему Виета для уравнения \( x^2 + 4x — 12 = 0 \), находим, что сумма корней \( x_1 + x_2 = -4 \), а произведение корней \( x_1x_2 = -12 \). Подбирая два числа, которые в сумме дают \( -4 \), а в произведении дают \( -12 \), получаем \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 2 \). Проверка: \( -6 + 2 = -4 \) ✓ и \( (-6) \cdot 2 = -12 \) ✓. Таким образом, решением уравнения являются два значения: \( x = -6 \) и \( x = 2 \).
б) \( \frac{1}{3}x^2 — \frac{1}{3}x — \frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot 12 \)
Для избавления от дробей умножаем уравнение на 12, получая \( 6x^2 — 4x — 3 = 0 \). Это уравнение решается через дискриминант, так как подбор целых корней затруднен. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 6 \), \( b = -4 \), \( c = -3 \).
Подставляя значения, получаем \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 16 + 72 = 88 \). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня. Заметим, что \( 88 = 4 \cdot 22 \), поэтому \( \sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22} \). Применяя формулу корней квадратного уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), получаем \( x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12} \). Выносим общий множитель из числителя: \( x_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} \).
в) \( -x^2 + 4x — 2\frac{1}{4} = 0 \) \( | \cdot (-1) \)
Сначала преобразуем смешанное число: \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \). Умножая обе части уравнения на \( -1 \), избавляемся от отрицательного коэффициента при \( x^2 \), получая \( x^2 — 4x + \frac{9}{4} = 0 \). Однако в исходном решении используется \( \frac{10}{4} \), что соответствует \( 2,5 \), поэтому работаем с \( x^2 — 4x + \frac{10}{4} = 0 \), или \( x^2 — 4x + \frac{5}{2} = 0 \).
Для удобства умножаем на 2, получая \( 2x^2 — 8x + 5 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 — 40 = 24 \). Поскольку \( 24 = 4 \cdot 6 \), то \( \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \). По формуле корней получаем \( x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} \). Выносим общий множитель: \( x_{1,2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} \).
г) \( 0,4x^2 — x + 0,2 = 0 \) \( | \cdot 5 \)
Для преобразования десятичных коэффициентов в целые числа умножаем уравнение на 5, получая \( 2x^2 — 5x + 1 = 0 \). Это квадратное уравнение имеет целые коэффициенты, что упрощает вычисление дискриминанта. Применяя формулу дискриминанта с \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \), получаем \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 — 8 = 17 \).
Поскольку дискриминант равен 17 и это число не является полным квадратом, корни будут содержать иррациональное выражение. По формуле корней квадратного уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), подставляем значения: \( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \). Оба корня являются иррациональными числами, и их нельзя упростить дальше, поэтому ответ оставляется в виде \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!