ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 784 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа:

а) \( -7 \) и \( 2 \)

б) \( 3 — \sqrt{2} \) и \( 3 + \sqrt{2} \)

а) \( x_1 = -7 \) и \( x_2 = 2 \):

\( x_1 + x_2 = -b \) \( \quad \quad x_1 x_2 = c \)

\( -7 + 2 = -b \) \( \quad \quad -7 \cdot 2 = c \)

\( -5 = -b \) \( \quad \quad c = -14 \)

\( b = 5 \)

Составим квадратный трехчлен: \( x^2 + 5x — 14 \)

б) \( x_1 = 3 — \sqrt{2} \) и \( x_2 = 3 + \sqrt{2} \):

\( x_1 + x_2 = -b \) \( \quad \quad x_1 x_2 = c \)

\( (3 — \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = -b \) \( \quad \quad (3 — \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = c \)

\( 3 — \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = -b \) \( \quad \quad 3^2 — (\sqrt{2})^2 = c \)

\( 6 = -b \) \( \quad \quad c = 9 — 2 \)

\( b = -6 \) \( \quad \quad c = 7 \)

Составим квадратный трехчлен: \( x^2 — 6x + 7 \)

а) \( x_1 = -7 \) и \( x_2 = 2 \):

Для составления квадратного трёхчлена по известным корням используем теорему Виета, которая устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), то сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). В нашем случае квадратный трёхчлен имеет вид \( x^2 — bx + c \), поэтому сумма корней даёт нам коэффициент \( b \), а произведение — коэффициент \( c \).

Вычислим сумму корней: \( x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5 \). По теореме Виета эта сумма равна \( -b \), следовательно \( -5 = -b \), откуда получаем \( b = 5 \). Теперь найдём произведение корней: \( x_1 x_2 = -7 \cdot 2 = -14 \). По теореме Виета произведение корней равно \( c \), поэтому \( c = -14 \). Таким образом, квадратный трёхчлен имеет вид \( x^2 + 5x — 14 \). Можно проверить полученный результат, решив уравнение \( x^2 + 5x — 14 = 0 \) через дискриминант или разложение на множители, что подтвердит правильность найденных коэффициентов.

б) \( x_1 = 3 — \sqrt{2} \) и \( x_2 = 3 + \sqrt{2} \):

В этом случае корни содержат иррациональные выражения, но метод остаётся тем же — применяем теорему Виета для нахождения коэффициентов. Заметим, что корни имеют специальную структуру: они представляют собой число 3 с добавлением и вычитанием \( \sqrt{2} \), что позволяет упростить вычисления при нахождении их суммы и произведения.

Найдём сумму корней: \( x_1 + x_2 = (3 — \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 — \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6 \). Заметим, что иррациональные части \( -\sqrt{2} \) и \( +\sqrt{2} \) взаимно уничтожаются, и мы получаем рациональное число 6. По теореме Виета сумма корней равна \( -b \), поэтому \( 6 = -b \), откуда \( b = -6 \). Теперь вычислим произведение корней, используя формулу разности квадратов: \( x_1 x_2 = (3 — \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 — (\sqrt{2})^2 = 9 — 2 = 7 \). Здесь применяется алгебраическое тождество \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 3 \) и \( b = \sqrt{2} \). По теореме Виета произведение корней равно \( c \), следовательно \( c = 7 \). Итоговый квадратный трёхчлен записывается как \( x^2 — 6x + 7 \). Проверка показывает, что дискриминант этого уравнения равен \( D = 36 — 28 = 8 = (2\sqrt{2})^2 \), и корни действительно равны \( x = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2} \), что совпадает с исходными корнями.