ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 785 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \( p \) выражение \( 2px^2 — 2x — 2p — 3 \) становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите другой корень.

Дано уравнение \( 2px^2 — 2x — 2p — 3 = 0 \) с корнем \( x_1 = 0 \).

Подставим \( x_1 = 0 \) в уравнение:

\( 2p \cdot 0^2 — 2 \cdot 0 — 2p — 3 = 0 \)

\( -2p — 3 = 0 \)

\( -2p = 3 \)

\( p = -\frac{3}{2} = -1,5 \)

При \( p = -1,5 \) данное выражение становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль. Подставим \( p = -1,5 \) в выражение и найдём второй корень:

\( 2 \cdot (-1,5) \cdot x^2 — 2x — 2 \cdot (-1,5) — 3 = 0 \)

\( -3x^2 — 2x + 3 — 3 = 0 \)

\( -3x^2 — 2x = 0 \)

\( -x(3x + 2) = 0 \)

\( x_1 = 0 \) или \( 3x + 2 = 0 \)

\( 3x = -2 \)

\( x_2 = -\frac{2}{3} \)

Ответ: при \( p = -1,5; \quad x_2 = -\frac{2}{3} \)

Рассмотрим уравнение \( 2px^2 — 2x — 2p — 3 = 0 \), в котором известно, что \( x_1 = 0 \) является одним из корней. Нашей задачей является найти значение параметра \( p \), а затем определить второй корень уравнения. Для решения этой задачи мы используем фундаментальное свойство корней: если число является корнем уравнения, то при подстановке этого числа вместо переменной уравнение обращается в верное числовое равенство, то есть обе части уравнения становятся равны нулю.

Подставим известный корень \( x_1 = 0 \) в исходное уравнение. При этой подстановке все члены, содержащие переменную \( x \) или её степени, обращаются в нуль, и остаются только свободные члены, содержащие параметр \( p \). Получаем: \( 2p \cdot 0^2 — 2 \cdot 0 — 2p — 3 = 0 \). Упростим это выражение, вычислив каждый член отдельно. Первый член \( 2p \cdot 0^2 = 0 \), второй член \( -2 \cdot 0 = 0 \), третий и четвёртый члены остаются без изменений. В результате получаем уравнение относительно параметра \( p \): \( -2p — 3 = 0 \).

Решаем линейное уравнение \( -2p — 3 = 0 \) для нахождения параметра \( p \). Перенесём свободный член в правую часть: \( -2p = 3 \). Разделим обе части уравнения на коэффициент при \( p \), то есть на \( -2 \): \( p = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} = -1,5 \). Таким образом, при значении параметра \( p = -1,5 \) исходное уравнение имеет корень \( x_1 = 0 \).

При найденном значении \( p = -1,5 \) исходное уравнение становится полноценным квадратным трёхчленом, так как коэффициент при \( x^2 \) становится отличным от нуля. Подставим \( p = -1,5 \) в исходное уравнение и получим: \( 2 \cdot (-1,5) \cdot x^2 — 2x — 2 \cdot (-1,5) — 3 = 0 \). Вычислим каждый коэффициент: первый коэффициент равен \( 2 \cdot (-1,5) = -3 \), третий коэффициент равен \( -2 \cdot (-1,5) = 3 \). Подставляя эти значения, получаем: \( -3x^2 — 2x + 3 — 3 = 0 \).

Упростим полученное уравнение, приведя подобные члены. Свободные члены \( +3 \) и \( -3 \) взаимно сокращаются: \( -3x^2 — 2x + 3 — 3 = 0 \) преобразуется в \( -3x^2 — 2x = 0 \). Это уравнение можно решить методом разложения на множители. Вынесем общий множитель \( -x \) за скобки: \( -x(3x + 2) = 0 \). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Из разложения \( -x(3x + 2) = 0 \) получаем два случая. Первый случай: \( -x = 0 \), откуда \( x_1 = 0 \). Это корень, который нам уже известен и который мы использовали для нахождения параметра \( p \). Второй случай: \( 3x + 2 = 0 \). Решаем это линейное уравнение, перенося свободный член: \( 3x = -2 \). Разделим обе части на коэффициент при \( x \): \( x = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} \). Таким образом, второй корень уравнения равен \( x_2 = -\frac{2}{3} \).

Проведём проверку найденного решения, подставив оба корня в исходное уравнение с параметром \( p = -1,5 \). Для первого корня \( x_1 = 0 \): \( 2 \cdot (-1,5) \cdot 0^2 — 2 \cdot 0 — 2 \cdot (-1,5) — 3 = 0 + 0 + 3 — 3 = 0 \) — верно. Для второго корня \( x_2 = -\frac{2}{3} \): \( -3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{3} = -\frac{12}{9} + \frac{12}{9} = 0 \) — верно. Оба корня удовлетворяют уравнению, что подтверждает правильность нашего решения.

Итоговый результат показывает, что при параметре \( p = -1,5 \) исходное уравнение \( 2px^2 — 2x — 2p — 3 = 0 \) имеет два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -\frac{2}{3} \). Первый корень был дан в условии задачи, а второй корень мы нашли путём подстановки найденного значения параметра и решения полученного квадратного уравнения методом разложения на множители. Оба корня являются действительными числами и удовлетворяют исходному уравнению при найденном значении параметра.