Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 786 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение:
а) \( 2x^2 — 10x + 3 \)
б) \( \frac{1}{3}x^2 + 7x — 2 \)
в) \( 0,5x^2 + 6x + 1 \)
г) \( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{3} \)
а) \( 2x^2 — 10x + 3 = 0. \)
\( D = 100 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 — 24 = 76 > 0 \Rightarrow \) имеет два корня.
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{2} = 5; \)
\( x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5. \)
б) \( \frac{1}{3}x^2 + 7x — 2 = 0. \)
\( D = 49 + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 = 49 + \frac{8}{3} = 49 + 2\frac{2}{3} = 51\frac{2}{3} > 0 \Rightarrow \) имеет два корня.
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\left(7 : \frac{1}{3}\right) = -(7 \cdot 3) = -21; \)
\( x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2 : \frac{1}{3} = -2 \cdot 3 = -6. \)
в) \( 0,5x^2 + 6x + 1 = 0. \)
\( D = 36 — 4 \cdot 0,5 \cdot 1 = 36 — 2 = 34 > 0 \Rightarrow \) имеет два корня.
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{0,5} = -\frac{60}{5} = -12; \)
\( x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{0,5} = \frac{10}{5} = 2. \)
г) \( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = 0. \)
\( D = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} + 1 = 1\frac{1}{9} > 0 \Rightarrow \) имеет два корня.
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\left(\frac{1}{3} : \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = -\left(\frac{1}{3} \cdot (-2)\right) = \frac{2}{3}; \)
\( x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} : \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1. \)
а) \( 2x^2 — 10x + 3 = 0. \)
Для решения квадратного уравнения применяем формулу дискриминанта \( D = b^2 — 4ac, \) где коэффициенты \( a = 2, \) \( b = -10, \) \( c = 3. \) Вычисляем дискриминант: \( D = (-10)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 — 24 = 76. \) Поскольку \( D = 76 > 0, \) уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, и корни можно найти по формуле корней квадратного уравнения.
Используя теорему Виета, находим сумму и произведение корней без вычисления самих корней. Сумма корней определяется формулой \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \) поэтому \( x_1 + x_2 = -\frac{-10}{2} = \frac{10}{2} = 5. \) Произведение корней находится по формуле \( x_1 x_2 = \frac{c}{a}, \) откуда \( x_1 x_2 = \frac{3}{2} = 1,5. \) Эти значения показывают, что оба корня в сумме дают 5, а их произведение равно 1,5.
б) \( \frac{1}{3}x^2 + 7x — 2 = 0. \)
Здесь коэффициенты уравнения: \( a = \frac{1}{3}, \) \( b = 7, \) \( c = -2. \) Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac: \) \( D = 7^2 — 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-2) = 49 + \frac{8}{3} = 49 + 2\frac{2}{3} = 51\frac{2}{3}. \) Так как \( D = 51\frac{2}{3} > 0, \) уравнение имеет два различных действительных корня. Положительное значение дискриминанта гарантирует, что оба корня существуют и отличаются друг от друга.
Применяя теорему Виета, находим сумму корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{\frac{1}{3}} = -7 \cdot 3 = -21. \) Произведение корней вычисляется как \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{\frac{1}{3}} = -2 \cdot 3 = -6. \) Отрицательная сумма указывает на то, что среди корней преобладают отрицательные значения, а отрицательное произведение означает, что корни имеют противоположные знаки.
в) \( 0,5x^2 + 6x + 1 = 0. \)
Коэффициенты этого уравнения: \( a = 0,5, \) \( b = 6, \) \( c = 1. \) Вычисляем дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 0,5 \cdot 1 = 36 — 2 = 34. \) Поскольку \( D = 34 > 0, \) уравнение имеет два различных действительных корня. Положительный дискриминант свидетельствует о том, что квадратичная функция пересекает ось \( x \) в двух различных точках.
Применяем теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней. Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{0,5} = -\frac{6}{\frac{1}{2}} = -6 \cdot 2 = -12. \) Произведение корней: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{0,5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2. \) Отрицательная сумма показывает, что оба корня отрицательны или их сумма смещена в отрицательную сторону, а положительное произведение подтверждает, что корни имеют одинаковые знаки.
г) \( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = 0. \)
Коэффициенты уравнения: \( a = -\frac{1}{2}, \) \( b = \frac{1}{3}, \) \( c = \frac{1}{2}. \) Вычисляем дискриминант: \( D = \left(\frac{1}{3}\right)^2 — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9}. \) Так как \( D = \frac{10}{9} > 0, \) уравнение имеет два различных действительных корня. Дискриминант больше нуля означает, что парабола, ветви которой направлены вниз (так как \( a < 0 \)), пересекает ось абсцисс в двух точках. Используя теорему Виета, находим сумму корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{3} \cdot \left(-2\right) = \frac{2}{3}. \) Произведение корней: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1. \) Положительная сумма корней показывает, что в целом корни смещены в положительную сторону, а отрицательное произведение указывает на то, что корни имеют противоположные знаки, то есть один положительный и один отрицательный.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!