ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 787 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите трёхчлен вида \( x^2 + px + q \), корнями которого являются не равные нулю числа \( p \) и \( q \).

По условию задачи корнями трёхчлена \( x^2 + px + q = 0 \) являются числа \( p \) и \( q \).

По теореме Виета: \( p + q = -p \) и \( pq = q \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} p + q = -p \\ pq = q \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 2p + q = 0 \\ pq — q = 0 \end{cases} \)

Из второго уравнения: \( q(p — 1) = 0 \), откуда \( q = 0 \) или \( p = 1 \).

Так как по условию \( q \neq 0 \), то \( p = 1 \).

Подставим \( p = 1 \) в первое уравнение: \( 2 \cdot 1 + q = 0 \), откуда \( q = -2 \).

Проверка: корни уравнения \( x^2 + x — 2 = 0 \) — это \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \), что совпадает с \( p = 1 \) и \( q = -2 \).

Ответ: \( p = 1 \) и \( q = -2 \). Трёхчлен: \( x^2 + x — 2 = 0 \).

Дана квадратичная функция \( x^2 + px + q = 0 \), корнями которой являются сами коэффициенты \( p \) и \( q \). Это означает, что если подставить \( x = p \) и \( x = q \) в уравнение, оно обратится в верное равенство. Задача требует найти конкретные значения параметров \( p \) и \( q \), при которых это условие выполняется. Для решения применим теорему Виета, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с суммой и произведением его корней.

По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) справедливы соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = q \). Поскольку в нашем случае корнями являются числа \( p \) и \( q \), мы можем записать эти соотношения в виде системы уравнений. Первое условие даёт нам \( p + q = -p \), откуда следует \( 2p + q = 0 \). Второе условие даёт \( p \cdot q = q \), что можно переписать как \( pq — q = 0 \) или \( q(p — 1) = 0 \).

Из уравнения \( q(p — 1) = 0 \) получаем два возможных случая: либо \( q = 0 \), либо \( p = 1 \). Однако по условию задачи корни трёхчлена являются ненулевыми числами, поэтому \( q \neq 0 \). Следовательно, мы должны рассмотреть только случай \( p = 1 \). Подставим это значение в первое уравнение системы: \( 2 \cdot 1 + q = 0 \), откуда получаем \( q = -2 \).

Проверим полученный результат. При \( p = 1 \) и \( q = -2 \) уравнение принимает вид \( x^2 + x — 2 = 0 \). Найдём его корни, используя формулу корней квадратного уравнения или разложение на множители: \( x^2 + x — 2 = (x — 1)(x + 2) = 0 \), откуда \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \). Действительно, корнями уравнения являются \( p = 1 \) и \( q = -2 \), что полностью соответствует условию задачи. Проверим также через теорему Виета: сумма корней \( 1 + (-2) = -1 = -p \) верна, произведение корней \( 1 \cdot (-2) = -2 = q \) верно.

Таким образом, найденные значения параметров удовлетворяют всем условиям задачи. Искомый трёхчлен имеет вид \( x^2 + x — 2 = 0 \), его коэффициенты равны \( p = 1 \) и \( q = -2 \), а его корнями являются именно эти коэффициенты. Решение единственно, так как из системы уравнений следует однозначное определение обоих параметров после исключения нулевого решения в соответствии с условиями задачи.