ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 788 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Пусть \( a \) и \( b \) — корни трёхчлена \( x^2 + px + q \), причём \( ab = 4 \) и \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \). Чему равно \( a \) и чему равно \( b \)?

Дано уравнение \( x^2 + px + q = 0 \).

По теореме Виета (если \( a \) и \( b \) корни): \( a + b = -p, \) \( ab = q. \)

Так как \( ab = 4 \) и \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \), то:

\( a + b = a + 2\sqrt{ab} + b — 2\sqrt{ab} = \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 — 2\sqrt{ab} = \)

\( = 3^2 — 2\sqrt{4} = 9 — 2 \cdot 2 = 9 — 4 = 5. \)

То есть: \( a + b = 5. \)

Значит:

\( a + b = -p \) \( ab = q \)

\( -p = 5. \) \( q = 4. \)

Таким образом:

\( a + b = 5, \) \( ab = 4; \)

\( a = 1, \) \( b = 4 \) или \( a = 4, \) \( b = 1. \)

Ответ: \( a = 1, \) \( b = 4 \) или \( a = 4, \) \( b = 1. \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + q = 0 \), где требуется найти коэффициенты \( p \) и \( q \) при условии, что корни уравнения \( a \) и \( b \) удовлетворяют двум условиям: произведение \( ab = 4 \) и сумма корней из корней \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \). Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Согласно теореме Виета, если \( a \) и \( b \) — корни квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), то сумма корней равна \( a + b = -p \), а произведение корней равно \( ab = q \). Таким образом, нам нужно найти сумму корней \( a + b \), чтобы определить коэффициент \( p \), и мы уже знаем произведение \( ab = 4 \), что сразу дает нам \( q = 4 \).

Основная сложность задачи заключается в нахождении суммы \( a + b \) на основе известных условий \( ab = 4 \) и \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \). Для этого воспользуемся алгебраическим приемом возведения в квадрат выражения \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \). Когда мы возводим сумму в квадрат, получаем: \( \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \). Подставляя известное значение \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \), получаем \( 3^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \), откуда \( 9 = a + b + 2\sqrt{ab} \). Теперь подставим значение \( ab = 4 \), что означает \( \sqrt{ab} = \sqrt{4} = 2 \). Следовательно, \( 9 = a + b + 2 \cdot 2 \), то есть \( 9 = a + b + 4 \). Решая это уравнение относительно суммы корней, получаем \( a + b = 9 — 4 = 5 \).

Теперь, когда мы определили, что \( a + b = 5 \) и \( ab = 4 \), можем найти коэффициенты исходного уравнения. Из теоремы Виета имеем \( a + b = -p \), поэтому \( 5 = -p \), откуда \( p = -5 \). Произведение корней дает нам \( ab = q = 4 \). Таким образом, искомое уравнение имеет вид \( x^2 — 5x + 4 = 0 \). Для проверки найдем сами корни этого уравнения, решив его через разложение на множители или через формулу. Заметим, что \( x^2 — 5x + 4 = (x — 1)(x — 4) = 0 \), откуда \( x = 1 \) или \( x = 4 \). Следовательно, корни уравнения — это \( a = 1 \) и \( b = 4 \) (или наоборот).

Проверим, что найденные корни удовлетворяют исходным условиям. Во-первых, проверим произведение: \( ab = 1 \cdot 4 = 4 \) — условие выполнено. Во-вторых, проверим сумму корней из корней: \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \) — это условие также выполнено. Кроме того, сумма корней равна \( a + b = 1 + 4 = 5 \), что соответствует найденному нами значению. Все условия задачи удовлетворены, поэтому решение верно.

Итоговый результат показывает, что коэффициенты квадратного уравнения равны \( p = -5 \) и \( q = 4 \), а сами корни уравнения — это \( a = 1, b = 4 \) или \( a = 4, b = 1 \). Оба варианта расстановки корней эквивалентны, так как они просто переставляют местами два корня одного и того же уравнения. Уравнение \( x^2 — 5x + 4 = 0 \) полностью определено, и его решение однозначно. Задача демонстрирует, как теорема Виета позволяет связать коэффициенты уравнения с его корнями и как алгебраические преобразования помогают найти неизвестные величины на основе дополнительных условий.