Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 789 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:
а) \( 2x^2 — 3x + 7 \)
б) \( -3x^2 + 4x — 1 \)
в) \( 5x^2 — 3x \)
г) \( -4x^2 + 8x \)
а) \( 2x^2 — 3x + 7 = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}\right) = \)
\( = 2\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 — \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{2}\right) = \)
\( = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} — \frac{9}{16} + \frac{7}{2}\right) = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 — \frac{9}{16} + \frac{56}{16}\right) = \)
\( = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{16}\right) = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{47}{16} = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{8} = \)
\( = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 5\frac{7}{8} \)
б) \( -3x^2 + 4x — 1 = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\right) = \)
\( = -3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\right) = \)
\( = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{1}{3}\right) = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{3}{9}\right) = \)
\( = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{1}{9}\right) = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{9} = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \)
в) \( 5x^2 — 3x = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x\right) = 5\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{10}x + \left(\frac{3}{10}\right)^2 — \left(\frac{3}{10}\right)^2\right) = \)
\( = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} — \frac{9}{100}\right) = 5\left(\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{9}{100}\right) = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 5 \cdot \frac{9}{100} = \)
\( = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 0{,}45 \)
г) \( -4x^2 + 8x = -4\left(x^2 — 2x\right) = -4\left(x^2 — 2x + 1 — 1\right) = \)
\( = -4\left(\left(x — 1\right)^2 — 1\right) = -4\left(x — 1\right)^2 + 4 \)
а) \( 2x^2 — 3x + 7 = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}\right) = \)
\( = 2\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 — \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{2}\right) = \)
\( = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} — \frac{9}{16} + \frac{7}{2}\right) = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 — \frac{9}{16} + \frac{56}{16}\right) = \)
\( = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{16}\right) = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{47}{16} = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{8} = \)
\( = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 5\frac{7}{8} \)
Для выделения полного квадрата из выражения \( 2x^2 — 3x + 7 \) сначала необходимо вынести коэффициент при \( x^2 \) за скобки. Получаем \( 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}\right) \). Внутри скобок находится квадратный трёхчлен, из которого нужно выделить полный квадрат. Для этого берём коэффициент при \( x \), который равен \( -\frac{3}{2} \), делим его на два и получаем \( -\frac{3}{4} \). Это число возводим в квадрат: \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \).
Добавляем и вычитаем \( \frac{9}{16} \) внутри скобок, чтобы создать полный квадрат. После этого преобразуем выражение в виде \( 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 — \frac{9}{16} + \frac{7}{2}\right) \). Приводим дробные части к общему знаменателю: \( -\frac{9}{16} + \frac{56}{16} = \frac{47}{16} \). Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на 2: \( 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{47}{16} = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{8} \). Переводим неправильную дробь \( \frac{47}{8} \) в смешанное число: \( \frac{47}{8} = 5\frac{7}{8} \).
б) \( -3x^2 + 4x — 1 = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\right) = \)
\( = -3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\right) = \)
\( = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{1}{3}\right) = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{3}{9}\right) = \)
\( = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{1}{9}\right) = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{9} = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \)
Здесь мы имеем дело с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \), поэтому вынесем \( -3 \) за скобки: \( -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\right) \). Внутри скобок применяем метод выделения полного квадрата. Коэффициент при \( x \) равен \( -\frac{4}{3} \), делим его на два: \( -\frac{4}{3} : 2 = -\frac{2}{3} \). Возводим в квадрат: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \).
Добавляем и вычитаем \( \frac{4}{9} \) в скобках, получая \( -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{1}{3}\right) \). Приводим дроби к общему знаменателю: \( -\frac{4}{9} + \frac{3}{9} = -\frac{1}{9} \). Раскрываем скобки, умножая на \( -3 \): \( -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \). Отрицательный коэффициент перед квадратом означает, что парабола ветвями направлена вниз, а вершина находится в точке \( \left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right) \).
в) \( 5x^2 — 3x = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x\right) = 5\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{10}x + \left(\frac{3}{10}\right)^2 — \left(\frac{3}{10}\right)^2\right) = \)
\( = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} — \frac{9}{100}\right) = 5\left(\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{9}{100}\right) = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 5 \cdot \frac{9}{100} = \)
\( = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 0{,}45 \)
В этом примере исходное выражение содержит только два члена: \( 5x^2 — 3x \). Вынесим коэффициент 5 за скобки: \( 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x\right) \). Для выделения полного квадрата в скобках берём коэффициент при \( x \), равный \( -\frac{3}{5} \), делим его на два: \( -\frac{3}{5} : 2 = -\frac{3}{10} \). Возводим в квадрат: \( \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{9}{100} \).
Добавляем и вычитаем \( \frac{9}{100} \) внутри скобок, чтобы получить полный квадрат: \( 5\left(\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{9}{100}\right) \). Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на 5: \( 5\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — 5 \cdot \frac{9}{100} = 5\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{45}{100} \). Упрощаем дробь \( \frac{45}{100} = 0{,}45 \) и записываем \( \frac{3}{10} = 0{,}3 \) в десятичной форме для удобства. Итоговое выражение показывает, что вершина параболы находится в точке \( (0{,}3; -0{,}45) \).
г) \( -4x^2 + 8x = -4\left(x^2 — 2x\right) = -4\left(x^2 — 2x + 1 — 1\right) = \)
\( = -4\left(\left(x — 1\right)^2 — 1\right) = -4\left(x — 1\right)^2 + 4 \)
Для выделения полного квадрата из выражения \( -4x^2 + 8x \) сначала вынесем коэффициент \( -4 \) за скобки: \( -4\left(x^2 — 2x\right) \). Внутри скобок находится неполный квадратный трёхчлен, в котором отсутствует свободный член. Коэффициент при \( x \) равен \( -2 \), делим его на два и получаем \( -1 \). Возводим в квадрат: \( (-1)^2 = 1 \).
Добавляем и вычитаем 1 внутри скобок: \( -4\left(x^2 — 2x + 1 — 1\right) \). Первые три слагаемых образуют полный квадрат: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \). Таким образом, получаем \( -4\left(\left(x — 1\right)^2 — 1\right) \). Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на \( -4 \): \( -4\left(x — 1\right)^2 — 4 \cdot (-1) = -4\left(x — 1\right)^2 + 4 \). Полученное выражение показывает, что парабола ветвями направлена вниз с вершиной в точке \( (1; 4) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!