ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 789 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

а) \( 2x^2 — 3x + 7 \)

б) \( -3x^2 + 4x — 1 \)

в) \( 5x^2 — 3x \)

г) \( -4x^2 + 8x \)

а) \( 2x^2 — 3x + 7 = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}\right) = \)

\( = 2\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 — \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{2}\right) = \)

\( = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} — \frac{9}{16} + \frac{7}{2}\right) = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 — \frac{9}{16} + \frac{56}{16}\right) = \)

\( = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{16}\right) = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{47}{16} = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{8} = \)

\( = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 5\frac{7}{8} \)

б) \( -3x^2 + 4x — 1 = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\right) = \)

\( = -3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\right) = \)

\( = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{1}{3}\right) = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{3}{9}\right) = \)

\( = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{1}{9}\right) = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{9} = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \)

в) \( 5x^2 — 3x = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x\right) = 5\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{10}x + \left(\frac{3}{10}\right)^2 — \left(\frac{3}{10}\right)^2\right) = \)

\( = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} — \frac{9}{100}\right) = 5\left(\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{9}{100}\right) = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 5 \cdot \frac{9}{100} = \)

\( = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 0{,}45 \)

г) \( -4x^2 + 8x = -4\left(x^2 — 2x\right) = -4\left(x^2 — 2x + 1 — 1\right) = \)

\( = -4\left(\left(x — 1\right)^2 — 1\right) = -4\left(x — 1\right)^2 + 4 \)

а) \( 2x^2 — 3x + 7 = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}\right) = \)

\( = 2\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{4}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 — \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{2}\right) = \)

\( = 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} — \frac{9}{16} + \frac{7}{2}\right) = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 — \frac{9}{16} + \frac{56}{16}\right) = \)

\( = 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{16}\right) = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{47}{16} = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{8} = \)

\( = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 5\frac{7}{8} \)

Для выделения полного квадрата из выражения \( 2x^2 — 3x + 7 \) сначала необходимо вынести коэффициент при \( x^2 \) за скобки. Получаем \( 2\left(x^2 — \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}\right) \). Внутри скобок находится квадратный трёхчлен, из которого нужно выделить полный квадрат. Для этого берём коэффициент при \( x \), который равен \( -\frac{3}{2} \), делим его на два и получаем \( -\frac{3}{4} \). Это число возводим в квадрат: \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \).

Добавляем и вычитаем \( \frac{9}{16} \) внутри скобок, чтобы создать полный квадрат. После этого преобразуем выражение в виде \( 2\left(\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 — \frac{9}{16} + \frac{7}{2}\right) \). Приводим дробные части к общему знаменателю: \( -\frac{9}{16} + \frac{56}{16} = \frac{47}{16} \). Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на 2: \( 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{47}{16} = 2\left(x — \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{47}{8} \). Переводим неправильную дробь \( \frac{47}{8} \) в смешанное число: \( \frac{47}{8} = 5\frac{7}{8} \).

б) \( -3x^2 + 4x — 1 = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\right) = \)

\( = -3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}\right) = \)

\( = -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{1}{3}\right) = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{3}{9}\right) = \)

\( = -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{1}{9}\right) = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{9} = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \)

Здесь мы имеем дело с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \), поэтому вынесем \( -3 \) за скобки: \( -3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\right) \). Внутри скобок применяем метод выделения полного квадрата. Коэффициент при \( x \) равен \( -\frac{4}{3} \), делим его на два: \( -\frac{4}{3} : 2 = -\frac{2}{3} \). Возводим в квадрат: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \).

Добавляем и вычитаем \( \frac{4}{9} \) в скобках, получая \( -3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{1}{3}\right) \). Приводим дроби к общему знаменателю: \( -\frac{4}{9} + \frac{3}{9} = -\frac{1}{9} \). Раскрываем скобки, умножая на \( -3 \): \( -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \). Отрицательный коэффициент перед квадратом означает, что парабола ветвями направлена вниз, а вершина находится в точке \( \left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right) \).

в) \( 5x^2 — 3x = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x\right) = 5\left(x^2 — 2 \cdot \frac{3}{10}x + \left(\frac{3}{10}\right)^2 — \left(\frac{3}{10}\right)^2\right) = \)

\( = 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} — \frac{9}{100}\right) = 5\left(\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{9}{100}\right) = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 5 \cdot \frac{9}{100} = \)

\( = 5\left(x — 0{,}3\right)^2 — 0{,}45 \)

В этом примере исходное выражение содержит только два члена: \( 5x^2 — 3x \). Вынесим коэффициент 5 за скобки: \( 5\left(x^2 — \frac{3}{5}x\right) \). Для выделения полного квадрата в скобках берём коэффициент при \( x \), равный \( -\frac{3}{5} \), делим его на два: \( -\frac{3}{5} : 2 = -\frac{3}{10} \). Возводим в квадрат: \( \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{9}{100} \).

Добавляем и вычитаем \( \frac{9}{100} \) внутри скобок, чтобы получить полный квадрат: \( 5\left(\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{9}{100}\right) \). Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на 5: \( 5\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — 5 \cdot \frac{9}{100} = 5\left(x — \frac{3}{10}\right)^2 — \frac{45}{100} \). Упрощаем дробь \( \frac{45}{100} = 0{,}45 \) и записываем \( \frac{3}{10} = 0{,}3 \) в десятичной форме для удобства. Итоговое выражение показывает, что вершина параболы находится в точке \( (0{,}3; -0{,}45) \).

г) \( -4x^2 + 8x = -4\left(x^2 — 2x\right) = -4\left(x^2 — 2x + 1 — 1\right) = \)

\( = -4\left(\left(x — 1\right)^2 — 1\right) = -4\left(x — 1\right)^2 + 4 \)

Для выделения полного квадрата из выражения \( -4x^2 + 8x \) сначала вынесем коэффициент \( -4 \) за скобки: \( -4\left(x^2 — 2x\right) \). Внутри скобок находится неполный квадратный трёхчлен, в котором отсутствует свободный член. Коэффициент при \( x \) равен \( -2 \), делим его на два и получаем \( -1 \). Возводим в квадрат: \( (-1)^2 = 1 \).

Добавляем и вычитаем 1 внутри скобок: \( -4\left(x^2 — 2x + 1 — 1\right) \). Первые три слагаемых образуют полный квадрат: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \). Таким образом, получаем \( -4\left(\left(x — 1\right)^2 — 1\right) \). Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на \( -4 \): \( -4\left(x — 1\right)^2 — 4 \cdot (-1) = -4\left(x — 1\right)^2 + 4 \). Полученное выражение показывает, что парабола ветвями направлена вниз с вершиной в точке \( (1; 4) \).