Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 790 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что квадратный трёхчлен:
а) \( -x^2 + 20x — 103 \) не принимает положительных значений
б) \( x^2 — 16x + 65 \) не принимает отрицательных значений
а) \( -x^2 + 20x — 103 = -(x^2 — 20x + 103) = \) \( = -(x^2 — 20x + 100 + 3) = -(x — 10)^2 — 3 < 0. \) Данный квадратный трёхчлен всегда меньше нуля, следовательно, он не принимает положительных значений. Что и требовалось доказать.
б) \( x^2 — 16x + 65 = x^2 — 16x + 64 + 1 = (x — 8)^2 + 1 > 0. \)
Данный квадратный трёхчлен всегда больше нуля, следовательно, он не принимает отрицательных значений. Что и требовалось доказать.
а) \( -x^2 + 20x — 103 = -(x^2 — 20x + 103) = \) \( = -(x^2 — 20x + 100 + 3) = -(x — 10)^2 — 3 < 0. \)
Для доказательства того, что данный квадратный трёхчлен никогда не принимает положительных значений, мы применяем метод выделения полного квадрата. Начинаем с исходного выражения \( -x^2 + 20x — 103 \) и выносим минус за скобки, получая \( -(x^2 — 20x + 103) \). Это преобразование позволяет нам работать с положительным коэффициентом при \( x^2 \) внутри скобок, что упрощает дальнейшие вычисления.
На следующем этапе мы выделяем полный квадрат из выражения \( x^2 — 20x + 103 \). Для этого замечаем, что \( x^2 — 20x \) является началом квадрата двучлена \( (x — 10)^2 = x^2 — 20x + 100 \). Поэтому мы представляем число 103 как сумму 100 и 3, то есть \( 103 = 100 + 3 \). Это дает нам возможность переписать выражение в виде \( x^2 — 20x + 100 + 3 = (x — 10)^2 + 3 \).
Подставляя это обратно в наше исходное выражение с минусом, получаем \( -(x — 10)^2 — 3 \). Теперь ключевое наблюдение: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \( (x — 10)^2 \geq 0 \) при всех значениях \( x \). Следовательно, \( -(x — 10)^2 \leq 0 \), и когда мы вычитаем ещё 3, получаем \( -(x — 10)^2 — 3 \leq -3 < 0 \). Это означает, что выражение всегда строго меньше нуля, независимо от того, какое значение принимает переменная \( x \). Таким образом, квадратный трёхчлен никогда не может быть положительным, что и требовалось доказать.
б) \( x^2 — 16x + 65 = x^2 — 16x + 64 + 1 = (x — 8)^2 + 1 > 0. \)
Для доказательства того, что данный квадратный трёхчлен всегда принимает только положительные значения, мы также используем метод выделения полного квадрата. Начинаем с выражения \( x^2 — 16x + 65 \) и ищем способ представить его в виде суммы квадрата двучлена и положительной константы. Замечаем, что коэффициент при \( x \) равен \( -16 \), поэтому половина этого коэффициента равна \( -8 \), и квадрат этого числа составляет 64.
Мы представляем число 65 как сумму 64 и 1, то есть \( 65 = 64 + 1 \). Это позволяет нам переписать исходное выражение следующим образом: \( x^2 — 16x + 64 + 1 \). Первые три слагаемых образуют полный квадрат двучлена: \( x^2 — 16x + 64 = (x — 8)^2 \). Таким образом, наше выражение принимает вид \( (x — 8)^2 + 1 \).
Теперь проанализируем знак этого выражения. Поскольку \( (x — 8)^2 \) является квадратом действительного числа, он всегда неотрицателен: \( (x — 8)^2 \geq 0 \) для любого значения \( x \). Минимальное значение квадрата равно нулю и достигается при \( x = 8 \). Однако мы добавляем к этому квадрату положительное число 1, поэтому \( (x — 8)^2 + 1 \geq 0 + 1 = 1 > 0 \). Это означает, что выражение всегда строго больше нуля при любых значениях переменной \( x \). Следовательно, квадратный трёхчлен никогда не принимает отрицательные или нулевые значения, что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!