ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 791 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена:

а) \( 3x^2 — 4x + 5 \)

б) \( -3x^2 + 12x \)

а) \( 3x^2 — 4x + 5 = 3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}\right) = \)

\( = 3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{5}{3}\right) = 3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{15}{9}\right) = \)

\( = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{9}\right) = 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{11}{9} = 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \)

Квадратный трехчлен принимает наименьшее значение, равное \( 3\frac{2}{3} \), при \( x = \frac{2}{3} \).

б) \( -3x^2 + 12x = -3(x^2 — 4x) = -3(x^2 — 4x + 4 — 4) = \)

\( = -3(x — 2)^2 + 3 \cdot 4 = -3(x — 2)^2 + 12 \)

Квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное \( 12 \), при \( x = 2 \).

а) \( 3x^2 — 4x + 5 = 3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}\right) = \) \( = 3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{5}{3}\right) = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{5}{3}\right) = \) \( = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{15}{9}\right) = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{9}\right) = 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \)

Для решения этой задачи мы применяем метод выделения полного квадрата, который позволяет преобразовать квадратный трехчлен в форму, удобную для анализа его экстремальных значений. Сначала мы выносим коэффициент при \( x^2 \), то есть число три, за скобки. Это дает нам возможность работать с приведенным квадратным трехчленом внутри скобок. Затем мы представляем выражение \( x^2 — \frac{4}{3}x \) как часть полного квадрата, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при \( x \).

Половина коэффициента при \( x \) равна \( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \), поэтому его квадрат составляет \( \frac{4}{9} \). Мы добавляем эту величину и одновременно вычитаем ее, чтобы не изменить значение выражения. После этого первые три слагаемых образуют полный квадрат \( \left(x — \frac{2}{3}\right)^2 \). Оставшиеся слагаемые \( -\frac{4}{9} + \frac{5}{3} \) мы приводим к общему знаменателю: \( -\frac{4}{9} + \frac{15}{9} = \frac{11}{9} \). Затем мы раскрываем скобку, умножая каждое слагаемое на три.

Полученное выражение \( 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \) показывает, что квадратный трехчлен состоит из неотрицательного члена \( 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 \) и константы \( \frac{11}{3} \). Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, минимальное значение выражения \( 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 \) равно нулю и достигается при \( x = \frac{2}{3} \). Следовательно, минимальное значение всего трехчлена равно \( 0 + \frac{11}{3} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \) и достигается при \( x = \frac{2}{3} \).

б) \( -3x^2 + 12x = -3(x^2 — 4x) = -3(x^2 — 4x + 4 — 4) = \) \( = -3((x — 2)^2 — 4) = -3(x — 2)^2 + 12 \)

Для этого примера мы также используем метод выделения полного квадрата, но с особенностью, связанной с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \). Сначала мы выносим минус три за скобки, получая \( -3(x^2 — 4x) \). Внутри скобок находится выражение \( x^2 — 4x \), которое нужно дополнить до полного квадрата. Половина коэффициента при \( x \) равна \( \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \), поэтому его квадрат составляет четыре.

Мы добавляем и вычитаем четыре внутри скобок: \( x^2 — 4x + 4 — 4 \). Первые три слагаемых образуют полный квадрат \( (x — 2)^2 \), а оставшаяся часть равна минус четыре. Таким образом, получаем \( -3((x — 2)^2 — 4) \). Раскрывая скобку, мы умножаем каждое слагаемое на минус три: \( -3(x — 2)^2 — 3 \cdot (-4) = -3(x — 2)^2 + 12 \).

Полученное выражение \( -3(x — 2)^2 + 12 \) имеет совершенно другой характер поведения по сравнению с первым примером. Здесь коэффициент при квадратичном члене отрицателен, что означает, что парабола ветвями направлена вниз. Член \( -3(x — 2)^2 \) всегда неположителен, его максимальное значение равно нулю и достигается при \( x = 2 \). Следовательно, максимальное значение всего выражения равно \( 0 + 12 = 12 \) и достигается при \( x = 2 \). При любом другом значении \( x \) величина \( (x — 2)^2 \) будет положительной, что сделает \( -3(x — 2)^2 \) отрицательным, и общее значение выражения будет меньше двенадцати.