Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 791 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена:
а) \( 3x^2 — 4x + 5 \)
б) \( -3x^2 + 12x \)
а) \( 3x^2 — 4x + 5 = 3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}\right) = \)
\( = 3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{5}{3}\right) = 3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{15}{9}\right) = \)
\( = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{9}\right) = 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{11}{9} = 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \)
Квадратный трехчлен принимает наименьшее значение, равное \( 3\frac{2}{3} \), при \( x = \frac{2}{3} \).
б) \( -3x^2 + 12x = -3(x^2 — 4x) = -3(x^2 — 4x + 4 — 4) = \)
\( = -3(x — 2)^2 + 3 \cdot 4 = -3(x — 2)^2 + 12 \)
Квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное \( 12 \), при \( x = 2 \).
а) \( 3x^2 — 4x + 5 = 3\left(x^2 — \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}\right) = \) \( = 3\left(x^2 — 2 \cdot \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} — \frac{4}{9} + \frac{5}{3}\right) = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{5}{3}\right) = \) \( = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9} + \frac{15}{9}\right) = 3\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{9}\right) = 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \)
Для решения этой задачи мы применяем метод выделения полного квадрата, который позволяет преобразовать квадратный трехчлен в форму, удобную для анализа его экстремальных значений. Сначала мы выносим коэффициент при \( x^2 \), то есть число три, за скобки. Это дает нам возможность работать с приведенным квадратным трехчленом внутри скобок. Затем мы представляем выражение \( x^2 — \frac{4}{3}x \) как часть полного квадрата, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при \( x \).
Половина коэффициента при \( x \) равна \( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \), поэтому его квадрат составляет \( \frac{4}{9} \). Мы добавляем эту величину и одновременно вычитаем ее, чтобы не изменить значение выражения. После этого первые три слагаемых образуют полный квадрат \( \left(x — \frac{2}{3}\right)^2 \). Оставшиеся слагаемые \( -\frac{4}{9} + \frac{5}{3} \) мы приводим к общему знаменателю: \( -\frac{4}{9} + \frac{15}{9} = \frac{11}{9} \). Затем мы раскрываем скобку, умножая каждое слагаемое на три.
Полученное выражение \( 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \) показывает, что квадратный трехчлен состоит из неотрицательного члена \( 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 \) и константы \( \frac{11}{3} \). Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, минимальное значение выражения \( 3\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 \) равно нулю и достигается при \( x = \frac{2}{3} \). Следовательно, минимальное значение всего трехчлена равно \( 0 + \frac{11}{3} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \) и достигается при \( x = \frac{2}{3} \).
б) \( -3x^2 + 12x = -3(x^2 — 4x) = -3(x^2 — 4x + 4 — 4) = \) \( = -3((x — 2)^2 — 4) = -3(x — 2)^2 + 12 \)
Для этого примера мы также используем метод выделения полного квадрата, но с особенностью, связанной с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \). Сначала мы выносим минус три за скобки, получая \( -3(x^2 — 4x) \). Внутри скобок находится выражение \( x^2 — 4x \), которое нужно дополнить до полного квадрата. Половина коэффициента при \( x \) равна \( \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \), поэтому его квадрат составляет четыре.
Мы добавляем и вычитаем четыре внутри скобок: \( x^2 — 4x + 4 — 4 \). Первые три слагаемых образуют полный квадрат \( (x — 2)^2 \), а оставшаяся часть равна минус четыре. Таким образом, получаем \( -3((x — 2)^2 — 4) \). Раскрывая скобку, мы умножаем каждое слагаемое на минус три: \( -3(x — 2)^2 — 3 \cdot (-4) = -3(x — 2)^2 + 12 \).
Полученное выражение \( -3(x — 2)^2 + 12 \) имеет совершенно другой характер поведения по сравнению с первым примером. Здесь коэффициент при квадратичном члене отрицателен, что означает, что парабола ветвями направлена вниз. Член \( -3(x — 2)^2 \) всегда неположителен, его максимальное значение равно нулю и достигается при \( x = 2 \). Следовательно, максимальное значение всего выражения равно \( 0 + 12 = 12 \) и достигается при \( x = 2 \). При любом другом значении \( x \) величина \( (x — 2)^2 \) будет положительной, что сделает \( -3(x — 2)^2 \) отрицательным, и общее значение выражения будет меньше двенадцати.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!