ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 792 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сумма положительных чисел \( a \) и \( b \) равна 40. При каких значениях \( a \) и \( b \) их произведение будет наибольшим?

Дано:
\(a + b = 40\) и \(ab\) — наибольшее.
Так как \(a + b = 40\), то \(b = 40 — a\).
Подставим \(b = 40 — a\) в выражение \(ab\), тогда:
\(ab = a(40 — a) = 40a — a^2 = -\left(a^2 — 40a\right) =\)
\(= -\left(a^2 — 40a + 400 — 400\right) = — (a — 20)^2 + 400.\)
Полученный квадрат двучлена принимает наибольшее значение, равное 400, при \(a = 20\).
Если \(a = 20\), то \(b = 40 — a = 20.\)
Таким образом, при \(a = b = 20\) произведение будет наибольшим.
Ответ: при \(a = b = 20.\)

Дано: \(a + b = 40\) и требуется найти такие значения \(a\) и \(b\), при которых произведение \(ab\) будет наибольшим. Поскольку сумма двух чисел фиксирована и равна 40, можно выразить одно из чисел через другое, например, \(b = 40 — a\). Это позволит записать произведение \(ab\) как функцию одной переменной \(a\).

Подставим \(b = 40 — a\) в выражение для произведения: \(ab = a(40 — a) = 40a — a^2\). Получили квадратичную функцию от переменной \(a\), которая описывает произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 40. Теперь нужно найти максимальное значение этой функции. Для удобства перепишем её в виде \(ab = -a^2 + 40a\).

Чтобы найти максимум квадратичной функции, приведём её к каноническому виду, выделив полный квадрат:
\(ab = -a^2 + 40a = — (a^2 — 40a) = — (a^2 — 40a + 400 — 400) =\)
\(= — (a — 20)^2 + 400.\)
Здесь использовано приём выделения полного квадрата, что позволяет увидеть, что функция достигает максимума при \(a = 20\), так как квадрат \((a — 20)^2\) всегда неотрицателен и минимальное значение равняется нулю.

Максимальное значение произведения равно \(400\), оно достигается при \(a = 20\). Тогда \(b = 40 — a = 20\). Таким образом, при равенстве чисел \(a\) и \(b\) их произведение максимально. Это соответствует известному свойству, что при фиксированной сумме произведение двух чисел максимально, если они равны.

Ответ: при \(a = b = 20\) произведение \(ab\) принимает наибольшее значение \(400\).