ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 794 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Зная, что коэффициенты квадратного трёхчлена \( (n — 3)x^2 + (n + 1)x + 9 — 2n \) — натуральные числа, найдите этот трёхчлен.

Дан трёхчлен \( (n-3)x^2 + (n+1)x + 9 — 2n \). Все коэффициенты — натуральные числа.

Условия для натуральности коэффициентов:

\( n — 3 > 0 \Rightarrow n > 3 \)

\( n + 1 > 0 \Rightarrow n > -1 \)

\( 9 — 2n > 0 \Rightarrow 2n < 9 \Rightarrow n < 4,5 \) Объединяя условия: \( n > 3 \), \( n > -1 \) и \( n < 4,5 \), получаем \( n \in (3; 4,5) \). Так как коэффициенты — натуральные числа, то \( n \) должно быть натуральным числом. Единственное натуральное число в интервале \( (3; 4,5) \) — это \( n = 4 \). Подставляем \( n = 4 \): \( (4 - 3)x^2 + (4 + 1)x + 9 - 2 \cdot 4 = x^2 + 5x + 1 \) Ответ: при \( n = 4 \): \( x^2 + 5x + 1 \)

Дан трёхчлен \( (n-3)x^2 + (n+1)x + 9 — 2n \), и требуется найти значение \( n \), при котором все коэффициенты являются натуральными числами. Натуральные числа — это положительные целые числа: 1, 2, 3, 4 и так далее. Для того чтобы каждый из трёх коэффициентов был натуральным числом, необходимо, чтобы каждый из них был строго больше нуля. Это означает, что нужно составить систему неравенств, в которой каждый коэффициент будет положительным.

Первый коэффициент при \( x^2 \) равен \( n — 3 \). Для его натуральности требуется условие \( n — 3 > 0 \), откуда получаем \( n > 3 \). Второй коэффициент при \( x \) равен \( n + 1 \). Для его натуральности требуется условие \( n + 1 > 0 \), откуда получаем \( n > -1 \). Третий коэффициент (свободный член) равен \( 9 — 2n \). Для его натуральности требуется условие \( 9 — 2n > 0 \), откуда получаем \( 2n < 9 \), то есть \( n < 4,5 \). Таким образом, мы получили три условия: \( n > 3 \), \( n > -1 \) и \( n < 4,5 \). Объединяя все три условия, нужно найти пересечение этих ограничений. Условие \( n > 3 \) является более строгим, чем \( n > -1 \), поэтому из первых двух условий остаётся \( n > 3 \). Комбинируя с третьим условием \( n < 4,5 \), получаем двойное неравенство \( 3 < n < 4,5 \), или в интервальной записи \( n \in (3; 4,5) \). Это означает, что \( n \) должно быть числом, которое больше 3 и одновременно меньше 4,5. Однако в условии задачи явно сказано, что коэффициенты должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа, поэтому и параметр \( n \) должен быть целым числом. Среди всех целых чисел, которые лежат в интервале \( (3; 4,5) \), есть только одно число — это \( n = 4 \). Число 3 не подходит, так как оно не больше 3, а число 5 не подходит, так как оно больше 4,5. Следовательно, единственное возможное значение — это \( n = 4 \). Подставим найденное значение \( n = 4 \) в исходный трёхчлен и вычислим каждый коэффициент. Первый коэффициент: \( n - 3 = 4 - 3 = 1 \). Второй коэффициент: \( n + 1 = 4 + 1 = 5 \). Третий коэффициент: \( 9 - 2n = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1 \). Таким образом, трёхчлен принимает вид \( (4-3)x^2 + (4+1)x + 9 - 2 \cdot 4 = 1 \cdot x^2 + 5x + 1 = x^2 + 5x + 1 \). Проверим, что все коэффициенты действительно являются натуральными числами. Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 — натуральное число. Коэффициент при \( x \) равен 5 — натуральное число. Свободный член равен 1 — натуральное число. Все условия выполнены. При \( n = 4 \) трёхчлен \( (n-3)x^2 + (n+1)x + 9 - 2n \) преобразуется в \( x^2 + 5x + 1 \), где все коэффициенты являются натуральными числами.