Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 795 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Зная, что \( m \) — целое число, найдите целые корни трёхчлена \( mx^2 + (m — 3)x — 3 \).
\( mx^2 + (m — 3)x — 3 = 0 \)
\( D = (m — 3)^2 + 4m \cdot 3 = m^2 — 6m + 9 + 12m = \) \( = m^2 + 6m + 9 = (m + 3)^2 \)
\( x_1 = \frac{-(m — 3) — (m + 3)}{2m} = \frac{-m + 3 — m — 3}{2m} = \frac{-2m}{2m} = -1 \)
\( x_2 = \frac{-(m — 3) + (m + 3)}{2m} = \frac{-m + 3 + m + 3}{2m} = \frac{6}{2m} = \frac{3}{m} \)
Так как \( m \) — целое число и трёхчлен имеет целые корни, то: \( m = \{-3; -1; 1; 3\} \)
Тогда:
\( x = \frac{3}{m} = \frac{3}{-3} = -1 \); \( x = \frac{3}{m} = \frac{3}{-1} = -3 \); \( x = \frac{3}{m} = \frac{3}{1} = 3 \); \( x = \frac{3}{m} = \frac{3}{3} = 1 \)
Ответ: при \( m = -3 \): \( x = -1 \);
при \( m = -1 \): \( x = -1 \) и \( x = -3 \);
при \( m = 1 \): \( x = -1 \) и \( x = 3 \);
при \( m = 3 \): \( x = -1 \) и \( x = 1 \)
Рассмотрим квадратное уравнение \( mx^2 + (m — 3)x — 3 = 0 \) и найдём его корни в зависимости от параметра \( m \). Сначала вычислим дискриминант этого уравнения. Дискриминант имеет вид \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = m \), \( b = m — 3 \), \( c = -3 \). Подставляя эти значения, получаем \( D = (m — 3)^2 + 4m \cdot 3 = m^2 — 6m + 9 + 12m = \) \( = m^2 + 6m + 9 \). Заметим, что это выражение является полным квадратом: \( D = (m + 3)^2 \). Такой результат означает, что уравнение всегда имеет два действительных корня (или один корень кратности два при \( m = -3 \)), и эти корни можно найти по формуле Виета или через стандартную формулу корней квадратного уравнения.
Найдём корни уравнения, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляя наши значения, получаем \( x = \frac{-(m — 3) \pm (m + 3)}{2m} \). Первый корень вычисляется как \( x_1 = \frac{-(m — 3) — (m + 3)}{2m} = \frac{-m + 3 — m — 3}{2m} = \frac{-2m}{2m} = -1 \). Этот корень не зависит от \( m \) и всегда равен \( -1 \) при условии, что \( m \neq 0 \). Второй корень находится как \( x_2 = \frac{-(m — 3) + (m + 3)}{2m} = \frac{-m + 3 + m + 3}{2m} = \frac{6}{2m} = \frac{3}{m} \). Этот корень зависит от параметра \( m \) и равен \( \frac{3}{m} \).
По условию задачи требуется, чтобы трёхчлен имел целые корни. Поскольку первый корень \( x_1 = -1 \) уже является целым числом, необходимо, чтобы второй корень \( x_2 = \frac{3}{m} \) также был целым числом. Это возможно только в том случае, если \( m \) является делителем числа 3. Делители числа 3 — это числа \( \pm 1 \) и \( \pm 3 \). Кроме того, по условию \( m \) должно быть целым числом. Таким образом, возможные значения параметра \( m \) составляют множество \( m = \{-3; -1; 1; 3\} \). Для каждого из этих значений найдём соответствующий корень \( x_2 = \frac{3}{m} \).
При \( m = -3 \) получаем \( x_2 = \frac{3}{-3} = -1 \). В этом случае оба корня совпадают и равны \( -1 \), то есть уравнение имеет один корень кратности два. Это согласуется с тем, что при \( m = -3 \) дискриминант \( D = (m + 3)^2 = 0 \), что приводит к кратному корню. Следовательно, при \( m = -3 \) единственный корень уравнения равен \( x = -1 \).
При \( m = -1 \) получаем \( x_2 = \frac{3}{-1} = -3 \). Таким образом, уравнение имеет два различных целых корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -3 \). Оба эти значения являются целыми числами, что удовлетворяет условию задачи. Проверим: подставляя \( x = -1 \) в исходное уравнение при \( m = -1 \), получаем \( (-1) \cdot 1 + (-1 — 3) \cdot (-1) — 3 = -1 + 4 — 3 = 0 \). Подставляя \( x = -3 \), получаем \( (-1) \cdot 9 + (-1 — 3) \cdot (-3) — 3 = -9 + 12 — 3 = 0 \). Оба корня действительно удовлетворяют уравнению.
При \( m = 1 \) получаем \( x_2 = \frac{3}{1} = 3 \). Уравнение имеет два различных целых корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \). Проверим корректность: при подстановке \( x = -1 \) в уравнение \( x^2 + (1 — 3)x — 3 = 0 \) имеем \( 1 — 2 \cdot (-1) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 \). При подстановке \( x = 3 \) получаем \( 9 + (1 — 3) \cdot 3 — 3 = 9 — 6 — 3 = 0 \). Оба корня удовлетворяют уравнению, и оба являются целыми числами.
При \( m = 3 \) получаем \( x_2 = \frac{3}{3} = 1 \). Уравнение имеет два различных целых корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \). Проверим: подставляя \( x = -1 \) в уравнение \( 3x^2 + (3 — 3)x — 3 = 0 \), то есть \( 3x^2 — 3 = 0 \), получаем \( 3 \cdot 1 — 3 = 0 \). Подставляя \( x = 1 \), получаем \( 3 \cdot 1 — 3 = 0 \). Оба корня действительно удовлетворяют уравнению и являются целыми числами.
Итоговое решение показывает, что при каждом допустимом значении параметра \( m \) уравнение имеет целые корни. При \( m = -3 \) корень один (кратный): \( x = -1 \). При \( m = -1 \) корни равны \( x = -1 \) и \( x = -3 \). При \( m = 1 \) корни равны \( x = -1 \) и \( x = 3 \). При \( m = 3 \) корни равны \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Во всех случаях один из корней всегда равен \( -1 \), а второй корень зависит от выбранного значения параметра и определяется формулой \( \frac{3}{m} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!