Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 796 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а) \( \frac{2m^2 — 8}{m^2 + 6m + 8} \)
б) \( \frac{2m^2 — 5m + 2}{mn — 2n — 3m + 6} \)
а) \( \frac{2m^2 — 8}{m^2 + 6m + 8} = \frac{2(m^2 — 4)}{(m + 4)(m + 2)} = \frac{2(m — 2)(m + 2)}{(m + 4)(m + 2)} = \frac{2(m — 2)}{m + 4} = \frac{2m — 4}{m + 4} \)
\( m^2 + 6m + 8 = 0 \)
\( m_1 + m_2 = -6, \quad m_1 m_2 = 8; \)
\( m_1 = -4, \quad m_2 = -2 \)
б) \( \frac{2m^2 — 5m + 2}{mn — 2n — 3m + 6} = \frac{2(m — 2)(m — 2)}{n(m — 2) — 3(m — 2)} = \frac{(2m — 1)(m — 2)}{(m — 2)(n — 3)} = \frac{2m — 1}{n — 3} \)
\( 2m^2 — 5m + 2 = 0 \)
\( D = 25 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 = 3^2 \)
\( m_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad m_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)
а) \( \frac{2m^2 — 8}{m^2 + 6m + 8} = \frac{2(m^2 — 4)}{(m + 4)(m + 2)} = \frac{2(m — 2)(m + 2)}{(m + 4)(m + 2)} = \frac{2(m — 2)}{m + 4} = \frac{2m — 4}{m + 4} \)
Для упрощения данной дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе \( 2m^2 — 8 \) выносим общий множитель 2, получая \( 2(m^2 — 4) \). Выражение \( m^2 — 4 \) является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), поэтому \( m^2 — 4 = (m — 2)(m + 2) \). В знаменателе \( m^2 + 6m + 8 \) представляет собой квадратный трёхчлен, который необходимо разложить на множители через поиск корней или по формуле Виета.
Для разложения знаменателя решаем уравнение \( m^2 + 6m + 8 = 0 \). По теореме Виета сумма корней равна \( m_1 + m_2 = -6 \), а произведение корней равно \( m_1 m_2 = 8 \). Подбирая целые числа, находим, что \( m_1 = -4 \) и \( m_2 = -2 \), так как \( -4 + (-2) = -6 \) и \( (-4) \cdot (-2) = 8 \). Следовательно, \( m^2 + 6m + 8 = (m + 4)(m + 2) \). После подстановки разложений в исходную дробь получаем \( \frac{2(m — 2)(m + 2)}{(m + 4)(m + 2)} \).
Сокращаем общий множитель \( (m + 2) \) в числителе и знаменателе, при условии, что \( m \neq -2 \). В результате получаем упрощённую дробь \( \frac{2(m — 2)}{m + 4} \), которую можно также записать как \( \frac{2m — 4}{m + 4} \), раскрыв скобки в числителе. Исходная дробь определена при всех значениях \( m \), кроме \( m = -4 \) и \( m = -2 \), так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль.
б) \( \frac{2m^2 — 5m + 2}{mn — 2n — 3m + 6} = \frac{2(m — 2)(m — 2)}{n(m — 2) — 3(m — 2)} = \frac{(2m — 1)(m — 2)}{(m — 2)(n — 3)} = \frac{2m — 1}{n — 3} \)
Для упрощения этой дроби необходимо разложить как числитель, так и знаменатель на множители. Начнём с числителя \( 2m^2 — 5m + 2 \). Это квадратный трёхчлен, который разлагается путём нахождения его корней через дискриминант. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 2 \). Получаем \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 = 3^2 \). Дискриминант является полным квадратом, что позволяет найти рациональные корни.
Корни квадратного трёхчлена находятся по формуле \( m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляя значения, получаем \( m_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( m_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \). Следовательно, числитель разлагается как \( 2m^2 — 5m + 2 = 2 \left( m — \frac{1}{2} \right)(m — 2) = (2m — 1)(m — 2) \), где мы использовали свойство, что \( 2 \left( m — \frac{1}{2} \right) = 2m — 1 \).
Для знаменателя \( mn — 2n — 3m + 6 \) применяем метод группировки. Группируем первые два члена и последние два члена: \( (mn — 2n) + (-3m + 6) = n(m — 2) — 3(m — 2) = (m — 2)(n — 3) \). Таким образом, знаменатель представляется как произведение двух множителей. Подставляя разложения в исходную дробь, получаем \( \frac{(2m — 1)(m — 2)}{(m — 2)(n — 3)} \).
Сокращаем общий множитель \( (m — 2) \) в числителе и знаменателе при условии, что \( m \neq 2 \). После сокращения получаем упрощённую дробь \( \frac{2m — 1}{n — 3} \). Исходная дробь определена при всех значениях переменных \( m \) и \( n \), кроме случаев, когда знаменатель равен нулю, то есть когда \( m = 2 \) или \( n = 3 \). При этих значениях исходная дробь теряет смысл, так как приводит к делению на нуль.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!