Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 797 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните действие:
а) \( \frac{x + 4}{x + 2} — \frac{3x — 12}{x^2 + 3x — 1} \)
б) \( \frac{x — 1}{x^2 + 3x + 2} — \frac{1 — x}{x^2 + 3x + 2} \)
в) \( \frac{7x — x^2}{x + 4} + \frac{x^2 — 20}{7 — x} \)
г) \( \frac{x^2 + 11x + 30}{x — 5} : \frac{x + 5}{3x — 15} \)
д) \( \frac{2x^2 — 7}{x^2 — 3x — 4} + \frac{x + 1}{x — 4} \)
е) \( \frac{2 + x — x^2}{2 — 5x + 3x^2} — \frac{10x}{3x — 2} \)
а) \( \frac{x+4}{x-1} = \frac{37x-12}{4x^2-3x-1} \)
Разложим знаменатель справа: \( 4x^2-3x-1 = (4x+1)(x-1) \)
\( \frac{x+4}{x-1} = \frac{37x-12}{(4x+1)(x-1)} \)
Умножим обе части на \( (x-1) \):
\( x+4 = \frac{37x-12}{4x+1} \)
\( (x+4)(4x+1) = 37x-12 \)
\( 4x^2+x+16x+4 = 37x-12 \)
\( 4x^2+17x+4 = 37x-12 \)
\( 4x^2-20x+16 = 0 \)
\( x^2-5x+4 = 0 \)
\( x_1 = 1, \quad x_2 = 4 \)
Проверка: \( x = 1 \) — посторонний корень (обращает знаменатель в нуль).
Ответ: \( x = 4 \)
б) \( \frac{1-x}{x+2} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} \)
\( \frac{1-x+x+3}{x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} \)
\( \frac{4}{x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} \)
\( 4(x+1) = x+2 \)
\( 4x+4 = x+2 \)
\( 3x = -2 \)
\( x = -\frac{2}{3} \)
Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)
в) \( \frac{x-x}{x(7-x)} = \frac{x+4}{(x+4)(x-5)} \)
\( \frac{0}{x(7-x)} = \frac{1}{x-5} \)
\( 0 = \frac{1}{x-5} \)
Уравнение не имеет решений.
Ответ: \( \emptyset \)
г) \( \frac{x^2+11x+30}{x+5} = \frac{3x-15}{x-5} \)
\( \frac{(x+5)(x+6)}{x+5} = \frac{3(x-5)}{x-5} \)
\( x+6 = 3 \)
\( x = -3 \)
Ответ: \( x = -3 \)
д) \( \frac{2x^3-7}{(x+1)(x-4)} = \frac{x+1}{x-4} \)
\( 2x^3-7 = (x+1)^2 \)
\( 2x^3-7 = x^2+2x+1 \)
\( 2x^3-x^2-2x-8 = 0 \)
\( x^2-2x-8 = 0 \)
\( x_1 = -2, \quad x_2 = 4 \)
Проверка: \( x = 4 \) — посторонний корень.
Ответ: \( x = -2 \)
е) \( \frac{2+x-x^2}{2+x-x^2} + \frac{10x}{(3x-2)(x-1)} = \frac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(x-1)} \)
\( 1 + \frac{10x}{(3x-2)(x-1)} = \frac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(x-1)} \)
\( (3x-2)(x-1) + 10x = 9x^2-9x+2 \)
\( 3x^2-5x+2 + 10x = 9x^2-9x+2 \)
\( 3x^2+5x+2 = 9x^2-9x+2 \)
\( 0 = 6x^2-14x \)
\( 0 = 2x(3x-7) \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{7}{3} \)
Ответ: \( x = 0; \quad x = \frac{7}{3} \)
а) \( \frac{x+4}{x-1} = \frac{37x-12}{4x^2-3x-1} \)
Для решения этого уравнения необходимо сначала разложить знаменатель правой части на множители. Квадратный трёхчлен \( 4x^2-3x-1 \) раскладывается как \( (4x+1)(x-1) \), что можно проверить раскрытием скобок: \( (4x+1)(x-1) = 4x^2 — 4x + x — 1 = 4x^2 — 3x — 1 \). После подстановки этого разложения уравнение принимает вид \( \frac{x+4}{x-1} = \frac{37x-12}{(4x+1)(x-1)} \). Заметим, что оба знаменателя содержат множитель \( (x-1) \), поэтому при умножении обеих частей уравнения на \( (x-1) \) этот множитель сокращается и мы получаем \( x+4 = \frac{37x-12}{4x+1} \).
Теперь умножим обе части полученного уравнения на \( (4x+1) \), чтобы избавиться от дроби: \( (x+4)(4x+1) = 37x-12 \). Раскроем скобки слева: \( 4x^2 + x + 16x + 4 = 37x — 12 \), что упрощается до \( 4x^2 + 17x + 4 = 37x — 12 \). Перенесём все члены в левую часть: \( 4x^2 + 17x + 4 — 37x + 12 = 0 \), откуда получаем \( 4x^2 — 20x + 16 = 0 \). Разделим всё уравнение на 4 для упрощения: \( x^2 — 5x + 4 = 0 \).
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета. По теореме Виета сумма корней равна 5, а произведение равно 4, поэтому корни — это \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 4 \). Однако необходимо проверить, не обращают ли эти значения знаменатели исходного уравнения в нуль. При \( x = 1 \) знаменатель \( x — 1 = 0 \), поэтому \( x = 1 \) является посторонним корнем и должен быть исключён. При \( x = 4 \) имеем \( x — 1 = 3 \neq 0 \) и \( 4x + 1 = 17 \neq 0 \), поэтому это значение допустимо. Проверка: левая часть \( \frac{4+4}{4-1} = \frac{8}{3} \), правая часть \( \frac{37 \cdot 4 — 12}{(4 \cdot 4 + 1)(4-1)} = \frac{148-12}{17 \cdot 3} = \frac{136}{51} = \frac{8}{3} \) — верно.
б) \( \frac{1-x}{x+2} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} \)
Левая часть уравнения содержит две дроби с одинаковым знаменателем \( x+2 \), поэтому их можно сложить: \( \frac{1-x+x+3}{x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} \). В числителе левой части \( 1 — x + x + 3 = 4 \), поэтому уравнение упрощается до \( \frac{4}{x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} \). Заметим, что знаменатель правой части содержит множитель \( (x+2) \), который присутствует и в знаменателе левой части.
При условии \( x \neq -2 \) обе части уравнения можно умножить на \( (x+2) \): \( 4 = \frac{x+2}{x+1} \). Теперь умножим обе части на \( (x+1) \): \( 4(x+1) = x+2 \). Раскроем скобки: \( 4x + 4 = x + 2 \). Перенесём переменные в левую часть, а константы в правую: \( 4x — x = 2 — 4 \), откуда \( 3x = -2 \). Разделим на 3: \( x = -\frac{2}{3} \).
Проверим, что найденное значение не обращает знаменатели в нуль: при \( x = -\frac{2}{3} \) имеем \( x + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \neq 0 \) и \( x + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \neq 0 \), поэтому решение допустимо. Подставим в исходное уравнение для проверки: левая часть \( \frac{1-(-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3}+2} + \frac{-\frac{2}{3}+3}{-\frac{2}{3}+2} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}} + \frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = 3 \), правая часть \( \frac{-\frac{2}{3}+2}{(-\frac{2}{3}+2)(-\frac{2}{3}+1)} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{9}} = 3 \) — верно.
в) \( \frac{x-x}{x(7-x)} = \frac{x+4}{(x+4)(x-5)} \)
Рассмотрим числитель левой части: \( x — x = 0 \). Это означает, что левая часть уравнения равна \( \frac{0}{x(7-x)} = 0 \) при всех допустимых значениях \( x \) (то есть при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 7 \)). Правая часть уравнения имеет вид \( \frac{x+4}{(x+4)(x-5)} \). При \( x \neq -4 \) можно сократить числитель и знаменатель на \( (x+4) \), получив \( \frac{1}{x-5} \).
Таким образом, уравнение принимает вид \( 0 = \frac{1}{x-5} \) при условиях \( x \neq 0 \), \( x \neq 7 \) и \( x \neq -4 \). Однако дробь \( \frac{1}{x-5} \) никогда не равна нулю, так как её числитель всегда равен 1, а знаменатель отличен от нуля при \( x \neq 5 \). Это означает, что уравнение не имеет решений. Множество решений пусто: \( \emptyset \).
г) \( \frac{x^2+11x+30}{x+5} = \frac{3x-15}{x-5} \)
Разложим числитель левой части на множители. Квадратный трёхчлен \( x^2 + 11x + 30 \) имеет корни, которые находятся по теореме Виета: сумма корней равна \( -11 \), произведение равно 30. Подбором находим корни \( x_1 = -5 \) и \( x_2 = -6 \), поэтому \( x^2 + 11x + 30 = (x+5)(x+6) \). Подставим это разложение в уравнение: \( \frac{(x+5)(x+6)}{x+5} = \frac{3x-15}{x-5} \). При условии \( x \neq -5 \) можно сократить числитель и знаменатель левой части на \( (x+5) \): \( x + 6 = \frac{3x-15}{x-5} \).
Заметим, что числитель правой части можно вынести: \( 3x — 15 = 3(x-5) \). Тогда уравнение принимает вид \( x + 6 = \frac{3(x-5)}{x-5} \). При условии \( x \neq 5 \) можно сократить на \( (x-5) \): \( x + 6 = 3 \). Решаем простое линейное уравнение: \( x = 3 — 6 = -3 \).
Проверим допустимость решения: при \( x = -3 \) имеем \( x + 5 = 2 \neq 0 \), \( x — 5 = -8 \neq 0 \), поэтому решение допустимо. Подставим в исходное уравнение: левая часть \( \frac{(-3)^2 + 11 \cdot (-3) + 30}{-3+5} = \frac{9 — 33 + 30}{2} = \frac{6}{2} = 3 \), правая часть \( \frac{3 \cdot (-3) — 15}{-3-5} = \frac{-9-15}{-8} = \frac{-24}{-8} = 3 \) — верно.
д) \( \frac{2x^3-7}{(x+1)(x-4)} = \frac{x+1}{x-4} \)
Умножим обе части уравнения на \( (x-4) \) при условии \( x \neq 4 \): \( \frac{2x^3-7}{x+1} = x+1 \). Теперь умножим обе части на \( (x+1) \) при условии \( x \neq -1 \): \( 2x^3 — 7 = (x+1)^2 \). Раскроем скобки справа: \( 2x^3 — 7 = x^2 + 2x + 1 \). Перенесём все члены в левую часть: \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = 0 \).
Попытаемся разложить полученное кубическое уравнение. Заметим, что если разделить на 2, то получим \( x^3 — \frac{1}{2}x^2 — x — 4 = 0 \), что не упрощает задачу. Вернёмся к исходному уравнению \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = 0 \). Проверим целые делители свободного члена: при \( x = 2 \) имеем \( 2 \cdot 8 — 4 — 4 — 8 = 16 — 16 = 0 \), поэтому \( x = 2 \) является корнем. Однако в исходном уравнении при \( x = 2 \) знаменатель \( (x+1)(x-4) = 3 \cdot (-2) = -6 \neq 0 \), поэтому это значение допустимо.
Однако при более внимательном анализе исходного уравнения заметим, что после упрощения мы получили \( 2x^3 — 7 = (x+1)^2 \), откуда \( 2x^3 = x^2 + 2x + 8 \), то есть \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = 0 \). Разделим на 2: \( x^3 — \frac{1}{2}x^2 — x — 4 = 0 \), или умножим исходное на 1 и попробуем другой подход. Заметим, что \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = (x^2 — 2x — 8)(2x + \text{что-то}) \). Попробуем разложить \( x^2 — 2x — 8 = (x-4)(x+2) \). Проверка: \( (x-4)(x+2) = x^2 + 2x — 4x — 8 = x^2 — 2x — 8 \) — верно. Тогда \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = (x^2 — 2x — 8) \cdot (\text{линейный множитель}) \).
Разделим \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 \) на \( x^2 — 2x — 8 \): результат деления даёт \( 2x + c \) для некоторого \( c \). Проверим: \( (x^2 — 2x — 8)(2x + c) = 2x^3 + cx^2 — 4x^2 — 2cx — 16x — 8c =\) \(= 2x^3 + (c-4)x^2 + (-2c-16)x — 8c \). Сравнивая с \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 \), получаем \( c — 4 = -1 \), откуда \( c = 3 \). Проверим остальные коэффициенты: \( -2c — 16 = -6 — 16 = -22 \neq -2 \), поэтому такое разложение неверно.
Применим другой метод. Из уравнения \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = 0 \) проверим рациональные корни по теореме о рациональных корнях: возможные корни — это \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8} \). При \( x = -2 \) имеем \( 2 \cdot (-8) — 4 — 2 \cdot (-2) — 8 = -16 — 4 + 4 — 8 = -24 \neq 0 \). При \( x = 2 \) имеем \( 2 \cdot 8 — 4 — 4 — 8 = 16 — 16 = 0 \) — верно. Значит, \( (x-2) \) — множитель. Разделим \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 \) на \( (x-2) \): \( 2x^3 — x^2 — 2x — 8 = (x-2)(2x^2 + 3x + 4) \).
Проверим: \( (x-2)(2x^2 + 3x + 4) = 2x^3 + 3x^2 + 4x — 4x^2 — 6x — 8 =\) \(= 2x^3 — x^2 — 2x — 8 \) — верно. Теперь решим \( 2x^2 + 3x + 4 = 0 \). Дискриминант: \( D = 9 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23 < 0 \), поэтому этот квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Значит, единственный действительный корень кубического уравнения — это \( x = 2 \). Однако нужно проверить, не обращает ли \( x = 2 \) знаменатели исходного уравнения в нуль. При \( x = 2 \) имеем \( (x+1)(x-4) = 3 \cdot (-2) = -6 \neq 0 \) и \( x - 4 = -2 \neq 0 \), поэтому решение допустимо. Проверим подстановкой в исходное уравнение: левая часть \( \frac{2 \cdot 8 - 7}{3 \cdot (-2)} = \frac{16-7}{-6} = \frac{9}{-6} = -\frac{3}{2} \), правая часть \( \frac{2+1}{2-4} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \) — верно. е) \( \frac{2+x-x^2}{2+x-x^2} + \frac{10x}{(3x-2)(x-1)} = \frac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(x-1)} \) Первая дробь в левой части имеет одинаковые числитель и знаменатель: \( \frac{2+x-x^2}{2+x-x^2} = 1 \) при условии \( 2 + x - x^2 \neq 0 \). Это условие означает, что \( x^2 - x - 2 \neq 0 \), то есть \( (x-2)(x+1) \neq 0 \), откуда \( x \neq 2 \) и \( x \neq -1 \). Уравнение упрощается до \( 1 + \frac{10x}{(3x-2)(x-1)} = \frac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(x-1)} \). Умножим обе части на \( (3x-2)(x-1) \) при условиях \( x \neq \frac{2}{3} \) и \( x \neq 1 \): \( (3x-2)(x-1) + 10x = 9x^2 - 9x + 2 \). Раскроем скобки слева: \( 3x^2 - 3x - 2x + 2 + 10x = 9x^2 - 9x + 2 \), откуда \( 3x^2 + 5x + 2 = 9x^2 - 9x + 2 \). Перенесём все члены в левую часть: \( 3x^2 + 5x + 2 - 9x^2 + 9x - 2 = 0 \), что упрощается до \( -6x^2 + 14x = 0 \). Вынесем общий множитель: \( -2x(3x - 7) = 0 \), откуда \( x = 0 \) или \( 3x - 7 = 0 \), то есть \( x = \frac{7}{3} \). Проверим допустимость обоих решений. Для \( x = 0 \): условие \( 2 + x - x^2 = 2 \neq 0 \) выполнено, \( 3x - 2 = -2 \neq 0 \) и \( x - 1 = -1 \neq 0 \) выполнены, поэтому \( x = 0 \) допустимо. Для \( x = \frac{7}{3} \): условие \( 2 + x - x^2 = 2 + \frac{7}{3} - \frac{49}{9} = \frac{18 + 21 - 49}{9} = \frac{-10}{9} \neq 0 \) выполнено, \( 3x - 2 = 7 - 2 = 5 \neq 0 \) и \( x - 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} \neq 0 \) выполнены, поэтому \( x = \frac{7}{3} \) допустимо. Проверим оба решения подстановкой в исходное уравнение. Для \( x = 0 \): левая часть \( 1 + \frac{0}{(-2)(-1)} = 1 + 0 = 1 \), правая часть \( \frac{0 - 0 + 2}{(-2)(-1)} = \frac{2}{2} = 1 \) — верно. Для \( x = \frac{7}{3} \): левая часть \( 1 + \frac{10 \cdot \frac{7}{3}}{5 \cdot \frac{4}{3}} = 1 + \frac{\frac{70}{3}}{\frac{20}{3}} = 1 + \frac{70}{20} = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2} \), правая часть \( \frac{9 \cdot \frac{49}{9} - 9 \cdot \frac{7}{3} + 2}{5 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{49 - 21 + 2}{\frac{20}{3}} = \frac{30}{\frac{20}{3}} = \frac{30 \cdot 3}{20} = \frac{90}{20} = \frac{9}{2} \) — верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!