Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 798 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \( \frac{x}{6} + \frac{20}{x — 1} = 4 \)
б) \( \frac{x + 15}{4} — \frac{21}{x + 2} = 2 \)
в) \( \frac{12}{x — 1} — \frac{8}{x + 1} = 1 \)
г) \( \frac{16}{x + 2} + \frac{30}{x + 1} = 3 \)
д) \( \frac{3}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} — \frac{28}{1 — x^2} = 0 \)
е) \( \frac{5}{x — 2} + \frac{5}{x + 2} — \frac{x^2 + 4}{x^2 — 4} = 0 \)
ж) \( \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x — 2} = \frac{29}{(x + 1)(x — 2)} \)
з) \( \frac{x + 2}{x + 3} — \frac{x + 1}{x — 3} = \frac{4}{(x + 3)(x — 1)} \)
а) \( \frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4 \), ОДЗ: \( x \neq 1 \)
\( (x+1)(x-1) + 20 \cdot 6 = 4 \cdot 6(x-1) \)
\( x^2 — 1 + 120 = 24x — 24 \)
\( x^2 — 24x + 119 + 24 = 0 \)
\( x^2 — 24x + 143 = 0 \)
\( D = 576 — 4 \cdot 143 = 576 — 572 = 4 = 2^2 \)
\( x_1 = \frac{24 — 2}{2} = \frac{22}{2} = 11, \quad x_2 = \frac{24 + 2}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)
Ответ: \( x = 11, x = 13 \)
б) \( \frac{x+15}{4} — \frac{21}{x+2} = 2 \), ОДЗ: \( x \neq -2 \)
\( (x+15)(x+2) — 21 \cdot 4 = 2 \cdot 4(x+2) \)
\( x^2 + 2x + 15x + 30 — 84 = 8x + 16 \)
\( x^2 + 17x — 54 — 8x — 16 = 0 \)
\( x^2 + 9x — 70 = 0 \)
\( D = 81 + 4 \cdot 70 = 81 + 280 = 361 = 19^2 \)
\( x_1 = \frac{-9 — 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14, \quad x_2 = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Ответ: \( x = -14, x = 5 \)
в) \( \frac{12}{x-1} — \frac{8}{x+1} = 1 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \)
\( 12(x+1) — 8(x-1) = (x-1)(x+1) \)
\( 12x + 12 — 8x + 8 = x^2 — 1 \)
\( x^2 — 1 — 4x — 20 = 0 \)
\( x^2 — 4x — 21 = 0 \)
\( D = 16 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100 = 10^2 \)
\( x_1 = \frac{4 — 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
Ответ: \( x = -3, x = 7 \)
г) \( \frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3 \), ОДЗ: \( x \neq 1, x \neq 3 \)
\( 16(1-x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x) \)
\( 16 — 16x + 30x — 90 = 3(x — x^2 — 3 + 3x) \)
\( 14x — 74 = -3x^2 + 12x — 9 \)
\( 3x^2 + 14x — 12x — 74 + 9 = 0 \)
\( 3x^2 + 2x — 65 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 65 = 4 + 780 = 784 = 28^2 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 28}{6} = \frac{-30}{6} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 28}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \)
Ответ: \( x = -5, x = 4\frac{1}{3} \)
д) \( \frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \)
\( 3(1+x) + 1 — x = 28 \)
\( 3 + 3x + 1 — x = 28 \)
\( 2x = 28 — 3 — 1 \)
\( 2x = 24 \)
\( x = 12 \)
Ответ: \( x = 12 \)
е) \( \frac{5}{x-2} — \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
\( 5(x+2) — 3(x-2) = 20 \)
\( 5x + 10 — 3x + 6 = 20 \)
\( 2x = 20 — 10 — 6 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \) — не подходит.
Ответ: корней нет.
ж) \( \frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)} \), ОДЗ: \( x \neq -1, x \neq 2 \)
\( (x+2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29 \)
\( x^2 — 4 + x^2 + x + 3x + 3 — 29 = 0 \)
\( 2x^2 + 4x — 30 = 0 \) \( | : 2 \)
\( x^2 + 2x — 15 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 15 = 64 = 8^2 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Ответ: \( x = -5, x = 3 \)
з) \( \frac{x+2}{x+3} — \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \), ОДЗ: \( x \neq -3, x \neq 1 \)
\( (x+2)(x-1) — (x+1)(x+3) = 4 \)
\( x^2 — x + 2x — 2 — x^2 — 3x — x — 3 — 4 = 0 \)
\( -3x — 9 = 0 \)
\( -3x = 9 \)
\( x = -3 \) — не подходит.
Ответ: корней нет.
а) \( \frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4 \), ОДЗ: \( x \neq 1 \)
Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( 6(x-1) \). Умножим первую дробь на \( (x-1) \), вторую на \( 6 \), а правую часть на \( 6(x-1) \). Получаем: \( (x+1)(x-1) + 20 \cdot 6 = 4 \cdot 6(x-1) \)
Раскроем скобки в левой части. Произведение \( (x+1)(x-1) \) дает \( x^2 — 1 \) по формуле разности квадратов. Добавляем \( 120 \): \( x^2 — 1 + 120 = 24x — 24 \). Упростим левую часть: \( x^2 + 119 = 24x — 24 \). Перенесем все в левую часть: \( x^2 — 24x + 119 + 24 = 0 \), откуда \( x^2 — 24x + 143 = 0 \)
Применим формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac = 576 — 4 \cdot 143 = 576 — 572 = 4 = 2^2 \). Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{24 — 2}{2} = \frac{22}{2} = 11 \) и \( x_2 = \frac{24 + 2}{2} = \frac{26}{2} = 13 \). Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как \( 11 \neq 1 \) и \( 13 \neq 1 \)
б) \( \frac{x+15}{4} — \frac{21}{x+2} = 2 \), ОДЗ: \( x \neq -2 \)
Приведем к общему знаменателю \( 4(x+2) \). Умножим первую дробь на \( (x+2) \), вторую на \( 4 \), а правую часть на \( 4(x+2) \): \( (x+15)(x+2) — 21 \cdot 4 = 2 \cdot 4(x+2) \)
Раскроем скобки: \( x^2 + 2x + 15x + 30 — 84 = 8x + 16 \). Упростим: \( x^2 + 17x — 54 = 8x + 16 \). Перенесем все в левую часть: \( x^2 + 17x — 54 — 8x — 16 = 0 \), получаем \( x^2 + 9x — 70 = 0 \)
Вычислим дискриминант: \( D = 81 + 4 \cdot 70 = 81 + 280 = 361 = 19^2 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{-9 — 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \) и \( x_2 = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Оба значения допустимы по ОДЗ
в) \( \frac{12}{x-1} — \frac{8}{x+1} = 1 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \)
Общий знаменатель — \( (x-1)(x+1) \). Приводим к нему: \( 12(x+1) — 8(x-1) = (x-1)(x+1) \). Раскроем скобки в левой части: \( 12x + 12 — 8x + 8 = x^2 — 1 \), упростим: \( 4x + 20 = x^2 — 1 \)
Перенесем все в левую часть: \( x^2 — 1 — 4x — 20 = 0 \), откуда \( x^2 — 4x — 21 = 0 \). Дискриминант: \( D = 16 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100 = 10^2 \). Корни уравнения: \( x_1 = \frac{4 — 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). Оба корня входят в область допустимых значений
г) \( \frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3 \), ОДЗ: \( x \neq 1, x \neq 3 \)
Заметим, что \( 1 — x = -(x-1) \), поэтому перепишем второе слагаемое: \( \frac{30}{1-x} = -\frac{30}{x-1} \). Общий знаменатель — \( (x-3)(1-x) \). Умножим первую дробь на \( (1-x) \), вторую на \( (x-3) \), а правую часть на \( (x-3)(1-x) \): \( 16(1-x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x) \)
Раскроем скобки в левой части: \( 16 — 16x + 30x — 90 = 14x — 74 \). Раскроем скобки в правой части: \( 3(x — x^2 — 3 + 3x) = 3(-x^2 + 4x — 3) = -3x^2 + 12x — 9 \). Получаем уравнение: \( 14x — 74 = -3x^2 + 12x — 9 \)
Перенесем все в левую часть: \( 3x^2 + 14x — 12x — 74 + 9 = 0 \), упростим: \( 3x^2 + 2x — 65 = 0 \). Дискриминант: \( D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 65 = 4 + 780 = 784 = 28^2 \). Корни: \( x_1 = \frac{-2 — 28}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 28}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \). Оба значения допустимы
д) \( \frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \)
Заметим, что знаменатель правой части \( 1 — x^2 = (1-x)(1+x) \). Приведем левую часть к этому знаменателю. Первую дробь умножим на \( (1+x) \), вторую на \( (1-x) \): \( 3(1+x) + 1(1-x) = 28 \)
Раскроем скобки: \( 3 + 3x + 1 — x = 28 \). Упростим: \( 4 + 2x = 28 \). Перенесем: \( 2x = 24 \), откуда \( x = 12 \). Значение удовлетворяет ОДЗ, так как \( 12 \neq 1 \) и \( 12 \neq -1 \)
е) \( \frac{5}{x-2} — \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
Заметим, что \( x^2 — 4 = (x-2)(x+2) \). Приведем левую часть к этому знаменателю. Первую дробь умножим на \( (x+2) \), вторую на \( (x-2) \): \( 5(x+2) — 3(x-2) = 20 \)
Раскроем скобки: \( 5x + 10 — 3x + 6 = 20 \). Упростим: \( 2x + 16 = 20 \). Перенесем: \( 2x = 4 \), откуда \( x = 2 \). Однако \( x = 2 \) не входит в область допустимых значений, так как обращает в ноль знаменатели исходного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений
ж) \( \frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)} \), ОДЗ: \( x \neq -1, x \neq 2 \)
Приведем левую часть к общему знаменателю \( (x+1)(x-2) \). Первую дробь умножим на \( (x-2) \), вторую на \( (x+1) \): \( (x+2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29 \)
Раскроем скобки: \( x^2 — 4 + x^2 + x + 3x + 3 = 29 \). Упростим: \( 2x^2 + 4x — 1 = 29 \), откуда \( 2x^2 + 4x — 30 = 0 \). Разделим на 2: \( x^2 + 2x — 15 = 0 \)
Вычислим дискриминант: \( D = 4 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 = 8^2 \). Корни: \( x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Оба значения входят в область допустимых значений
з) \( \frac{x+2}{x+3} — \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \), ОДЗ: \( x \neq -3, x \neq 1 \)
Приведем левую часть к общему знаменателю \( (x+3)(x-1) \). Первую дробь умножим на \( (x-1) \), вторую на \( (x+3) \): \( (x+2)(x-1) — (x+1)(x+3) = 4 \)
Раскроем скобки: \( x^2 — x + 2x — 2 — (x^2 + 3x + x + 3) = 4 \). Упростим: \( x^2 + x — 2 — x^2 — 4x — 3 = 4 \), откуда \( -3x — 5 = 4 \). Перенесем: \( -3x = 9 \), откуда \( x = -3 \)
Однако \( x = -3 \) не входит в область допустимых значений, так как обращает в ноль знаменатель \( (x+3) \) в исходном уравнении. Следовательно, уравнение не имеет решений
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!