ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 799 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения с осью \( x \) графика функции, заданной формулой:

а) \( y = \frac{2x — 5}{x + 3} \)

б) \( y = \frac{(x — 4)(3x — 15)}{x — 9} \)

в) \( y = \frac{x^2 — 5x + 6}{x — 2} \)

г) \( y = \frac{x^3 — 12x}{x — 3} \)

а) \( y = \frac{2x — 5}{x + 3}, \quad x \neq -3 \)

\( 0 = \frac{2x — 5}{x + 3} \)

\( 2x — 5 = 0 \)

\( 2x = 5 \)

\( x = 2,5 \)

Ответ: \( (2,5; 0) \).

б) \( y = \frac{(x — 4)(3x — 15)}{x — 9}, \quad x \neq 9 \)

\( 0 = \frac{(x — 4)(3x — 15)}{x — 9} \)

\( 3x^2 — 15x — 12x + 60 = 0 \)

\( 3x^2 — 27x + 60 = 0 \quad | : 3 \)

\( x^2 — 9x + 20 = 0 \)

\( D = 81 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 \)

\( x_1 = \frac{9 — 1}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Ответ: \( (4; 0) \) и \( (5; 0) \).

в) \( y = \frac{x^2 — 5x + 6}{x — 2}, \quad x \neq 2 \)

\( 0 = \frac{x^2 — 5x + 6}{x — 2} \)

\( x^2 — 5x + 6 = 0 \)

\( D = 25 — 4 \cdot 6 = 1 \)

\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 — \text{не подходит}, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Ответ: \( (3; 0) \).

г) \( y = \frac{x^3 — 7x^2 + 12x}{x — 3}, \quad x \neq 3 \)

\( 0 = \frac{x^3 — 7x^2 + 12x}{x — 3} \)

\( x^3 — 7x^2 + 12x = 0 \)

\( x(x^2 — 7x + 12) = 0 \)

\( x^2 — 7x + 12 = 0, \quad x = 0 \)

\( D = 49 — 4 \cdot 12 = 1 \)

\( x_1 = \frac{7 — 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 — \text{не подходит}, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Ответ: \( (0; 0) \) и \( (4; 0) \).

а) \( y = \frac{2x — 5}{x + 3}, \quad x \neq -3 \)

Для нахождения точек пересечения графика функции с осью абсцисс необходимо приравнять функцию к нулю. Дробь равна нулю только в том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель \( x + 3 \) не равен нулю при \( x \neq -3 \), что уже указано в условии. Поэтому приравниваем числитель к нулю: \( 2x — 5 = 0 \).

Решаем полученное линейное уравнение. Переносим константу в правую часть: \( 2x = 5 \). Делим обе части на коэффициент при \( x \): \( x = \frac{5}{2} = 2,5 \). Полученное значение не нарушает ограничение \( x \neq -3 \), поэтому оно является корректным решением. Точка пересечения с осью \( x \) имеет координаты \( (2,5; 0) \).

б) \( y = \frac{(x — 4)(3x — 15)}{x — 9}, \quad x \neq 9 \)

Приравниваем функцию к нулю. Числитель представляет собой произведение двух множителей: \( (x — 4)(3x — 15) = 0 \). Знаменатель \( x — 9 \) не должен равняться нулю, что обеспечивает условие \( x \neq 9 \). Раскрываем скобки в числителе: \( 3x^2 — 15x — 12x + 60 = 0 \), что упрощается до \( 3x^2 — 27x + 60 = 0 \).

Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 3: \( x^2 — 9x + 20 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac = 81 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 \). Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Применяем формулу корней квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{9 — 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Оба полученных значения удовлетворяют условию \( x \neq 9 \), поэтому обе точки являются точками пересечения графика с осью \( x \). Координаты этих точек: \( (4; 0) \) и \( (5; 0) \).

в) \( y = \frac{x^2 — 5x + 6}{x — 2}, \quad x \neq 2 \)

Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю. Числитель \( x^2 — 5x + 6 \) должен равняться нулю, а знаменатель \( x — 2 \) не должен равняться нулю, что уже гарантировано условием \( x \neq 2 \). Решаем квадратное уравнение \( x^2 — 5x + 6 = 0 \) через дискриминант: \( D = 25 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \).

Вычисляем корни по формуле: \( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Однако первый корень \( x_1 = 2 \) не подходит, так как он нарушает ограничение \( x \neq 2 \) (знаменатель обращается в нуль). Поэтому единственной точкой пересечения графика с осью абсцисс является точка с координатами \( (3; 0) \).

г) \( y = \frac{x^3 — 7x^2 + 12x}{x — 3}, \quad x \neq 3 \)

Приравниваем функцию к нулю и получаем, что числитель \( x^3 — 7x^2 + 12x \) должен равняться нулю. Выносим общий множитель: \( x(x^2 — 7x + 12) = 0 \). Это даёт нам первое решение: \( x = 0 \). Для нахождения остальных корней решаем квадратное уравнение \( x^2 — 7x + 12 = 0 \).

Вычисляем дискриминант: \( D = 49 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{7 — 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \). Первый корень \( x_1 = 3 \) не подходит, так как нарушает условие \( x \neq 3 \), при котором знаменатель обращается в нуль и функция становится неопределённой.

Таким образом, из трёх найденных значений подходят только два: \( x = 0 \) и \( x = 4 \). Точки пересечения графика функции с осью абсцисс имеют координаты \( (0; 0) \) и \( (4; 0) \). Первая точка совпадает с началом координат, что является частым случаем при наличии множителя \( x \) в числителе дробной функции.