Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 80 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Преобразуйте в дробь выражение:
a) \(\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}\);
б) \(\frac{ab — b}{a} — \frac{ab — a}{b} — \frac{a^2 — b^2}{ab}\);
в) \(\frac{b — a}{ab} + \frac{c — b}{bc} — \frac{c — a}{ac}\);
г) \(\frac{3ab + 2b^2}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b}\).
а) \( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{c}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{a}{abc} = \frac{c + b + a}{abc} \)
б) \( \frac{ab — b}{a} — \frac{ab — a}{b} — \frac{a^2 — b^2}{ab} = \frac{b(ab — b) — a(ab — a) — a^2 + b^2}{ab} = \frac{ab^2 — b^2 — a^2b + a^2 — a^2 + b^2}{ab} =\) \(= \frac{ab^2 — a^2b}{ab} = \frac{ab(b — a)}{ab} = b — a \)
в) \( \frac{b — a}{ab} + \frac{c — b}{bc} — \frac{c — a}{ac} = \frac{c(b — a) + a(c — b) — b(c — a)}{abc} = \frac{bc — ac + ac — ab — bc + ab}{abc} =\) \(= \frac{0}{abc} = 0 \)
г) \( \frac{3ab + 2b^2}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{b(3a + 2b)}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{3a + 2b}{a} — \frac{a + 2b}{a} +\) \(+ \frac{a — 2b}{b} = \frac{3a + 2b — a — 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{2a}{a} + \frac{a — 2b}{b} = 2 + \frac{a — 2b}{b} = \frac{2b + a — 2b}{b} = \frac{a}{b} \)
а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} \). Для сложения дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для \(ab\), \(ac\) и \(bc\) будет произведение \(abc\), так как каждый из знаменателей содержит произведение двух переменных из трёх. Приведём каждую дробь к этому знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующей дроби на недостающий множитель: первая дробь умножается на \(c/c\), вторая — на \(b/b\), третья — на \(a/a\). В итоге получаем \( \frac{c}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{a}{abc} \).
Сложив числители, получим сумму \(c + b + a\) над общим знаменателем \(abc\). Таким образом, итоговое выражение равно \( \frac{c + b + a}{abc} \). Это и есть окончательный результат, поскольку знаменатель общий, а числители сложены корректно.
б) Начинаем с выражения \( \frac{ab — b}{a} — \frac{ab — a}{b} — \frac{a^2 — b^2}{ab} \). Первое, что делаем — приводим все дроби к общему знаменателю, которым является произведение \(ab\). Перепишем каждую дробь с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(b/b\), вторая — на \(a/a\), третья уже имеет знаменатель \(ab\). Получаем: \( \frac{b(ab — b)}{ab} — \frac{a(ab — a)}{ab} — \frac{a^2 — b^2}{ab} \).
Теперь объединим числители под одним знаменателем \(ab\): \( b(ab — b) — a(ab — a) — (a^2 — b^2) \). Раскроем скобки: \( bab — b^2 — aab + a^2 — a^2 + b^2 \). Упростим: \( ab^2 — b^2 — a^2b + a^2 — a^2 + b^2 \). Сложим подобные члены: \( ab^2 — a^2b \), так как \( -b^2 + b^2 = 0 \) и \( a^2 — a^2 = 0 \). Вынесем общий множитель: \( ab(b — a) \).
Делим это на знаменатель \(ab\), получаем \( \frac{ab(b — a)}{ab} = b — a \). Это и есть окончательный ответ.
в) Рассмотрим выражение \( \frac{b — a}{ab} + \frac{c — b}{bc} — \frac{c — a}{ac} \). Чтобы сложить и вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю \(abc\). Первая дробь умножается на \(c/c\), вторая — на \(a/a\), третья — на \(b/b\). Получаем: \( \frac{c(b — a)}{abc} + \frac{a(c — b)}{abc} — \frac{b(c — a)}{abc} \).
Объединим числители под одним знаменателем: \( c(b — a) + a(c — b) — b(c — a) \). Раскроем скобки: \( bc — ac + ac — ab — bc + ab \). Теперь сложим подобные члены: \( bc — bc = 0 \), \( -ac + ac = 0 \), \( -ab + ab = 0 \). Итог — числитель равен нулю.
Таким образом, сумма равна \( \frac{0}{abc} = 0 \).
г) Рассмотрим выражение \( \frac{3ab + 2b^2}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} \). Перепишем первую дробь, выделив общий множитель в числителе: \( \frac{b(3a + 2b)}{ab} \). Это позволяет сократить \(b\): \( \frac{3a + 2b}{a} \).
Теперь выражение выглядит как сумма: \( \frac{3a + 2b}{a} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} \). Сложим первые две дроби с одинаковым знаменателем \(a\): \( \frac{3a + 2b — (a + 2b)}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{3a + 2b — a — 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} \).
Упростим числитель первой дроби: \( 3a — a + 2b — 2b = 2a \). Получаем \( \frac{2a}{a} + \frac{a — 2b}{b} = 2 + \frac{a — 2b}{b} \).
Приведём к общему знаменателю \(b\): \( 2 = \frac{2b}{b} \), значит сумма равна \( \frac{2b}{b} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{2b + a — 2b}{b} = \frac{a}{b} \).
Это и есть искомое значение.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!