ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 80 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:
a) \(\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}\);
б) \(\frac{ab — b}{a} — \frac{ab — a}{b} — \frac{a^2 — b^2}{ab}\);
в) \(\frac{b — a}{ab} + \frac{c — b}{bc} — \frac{c — a}{ac}\);
г) \(\frac{3ab + 2b^2}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b}\).

а) \( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{c}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{a}{abc} = \frac{c + b + a}{abc} \)

б) \( \frac{ab — b}{a} — \frac{ab — a}{b} — \frac{a^2 — b^2}{ab} = \frac{b(ab — b) — a(ab — a) — a^2 + b^2}{ab} = \frac{ab^2 — b^2 — a^2b + a^2 — a^2 + b^2}{ab} =\) \(= \frac{ab^2 — a^2b}{ab} = \frac{ab(b — a)}{ab} = b — a \)

в) \( \frac{b — a}{ab} + \frac{c — b}{bc} — \frac{c — a}{ac} = \frac{c(b — a) + a(c — b) — b(c — a)}{abc} = \frac{bc — ac + ac — ab — bc + ab}{abc} =\) \(= \frac{0}{abc} = 0 \)

г) \( \frac{3ab + 2b^2}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{b(3a + 2b)}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{3a + 2b}{a} — \frac{a + 2b}{a} +\) \(+ \frac{a — 2b}{b} = \frac{3a + 2b — a — 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{2a}{a} + \frac{a — 2b}{b} = 2 + \frac{a — 2b}{b} = \frac{2b + a — 2b}{b} = \frac{a}{b} \)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} \). Для сложения дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для \(ab\), \(ac\) и \(bc\) будет произведение \(abc\), так как каждый из знаменателей содержит произведение двух переменных из трёх. Приведём каждую дробь к этому знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующей дроби на недостающий множитель: первая дробь умножается на \(c/c\), вторая — на \(b/b\), третья — на \(a/a\). В итоге получаем \( \frac{c}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{a}{abc} \).

Сложив числители, получим сумму \(c + b + a\) над общим знаменателем \(abc\). Таким образом, итоговое выражение равно \( \frac{c + b + a}{abc} \). Это и есть окончательный результат, поскольку знаменатель общий, а числители сложены корректно.

б) Начинаем с выражения \( \frac{ab — b}{a} — \frac{ab — a}{b} — \frac{a^2 — b^2}{ab} \). Первое, что делаем — приводим все дроби к общему знаменателю, которым является произведение \(ab\). Перепишем каждую дробь с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(b/b\), вторая — на \(a/a\), третья уже имеет знаменатель \(ab\). Получаем: \( \frac{b(ab — b)}{ab} — \frac{a(ab — a)}{ab} — \frac{a^2 — b^2}{ab} \).

Теперь объединим числители под одним знаменателем \(ab\): \( b(ab — b) — a(ab — a) — (a^2 — b^2) \). Раскроем скобки: \( bab — b^2 — aab + a^2 — a^2 + b^2 \). Упростим: \( ab^2 — b^2 — a^2b + a^2 — a^2 + b^2 \). Сложим подобные члены: \( ab^2 — a^2b \), так как \( -b^2 + b^2 = 0 \) и \( a^2 — a^2 = 0 \). Вынесем общий множитель: \( ab(b — a) \).

Делим это на знаменатель \(ab\), получаем \( \frac{ab(b — a)}{ab} = b — a \). Это и есть окончательный ответ.

в) Рассмотрим выражение \( \frac{b — a}{ab} + \frac{c — b}{bc} — \frac{c — a}{ac} \). Чтобы сложить и вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю \(abc\). Первая дробь умножается на \(c/c\), вторая — на \(a/a\), третья — на \(b/b\). Получаем: \( \frac{c(b — a)}{abc} + \frac{a(c — b)}{abc} — \frac{b(c — a)}{abc} \).

Объединим числители под одним знаменателем: \( c(b — a) + a(c — b) — b(c — a) \). Раскроем скобки: \( bc — ac + ac — ab — bc + ab \). Теперь сложим подобные члены: \( bc — bc = 0 \), \( -ac + ac = 0 \), \( -ab + ab = 0 \). Итог — числитель равен нулю.

Таким образом, сумма равна \( \frac{0}{abc} = 0 \).

г) Рассмотрим выражение \( \frac{3ab + 2b^2}{ab} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} \). Перепишем первую дробь, выделив общий множитель в числителе: \( \frac{b(3a + 2b)}{ab} \). Это позволяет сократить \(b\): \( \frac{3a + 2b}{a} \).

Теперь выражение выглядит как сумма: \( \frac{3a + 2b}{a} — \frac{a + 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} \). Сложим первые две дроби с одинаковым знаменателем \(a\): \( \frac{3a + 2b — (a + 2b)}{a} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{3a + 2b — a — 2b}{a} + \frac{a — 2b}{b} \).

Упростим числитель первой дроби: \( 3a — a + 2b — 2b = 2a \). Получаем \( \frac{2a}{a} + \frac{a — 2b}{b} = 2 + \frac{a — 2b}{b} \).

Приведём к общему знаменателю \(b\): \( 2 = \frac{2b}{b} \), значит сумма равна \( \frac{2b}{b} + \frac{a — 2b}{b} = \frac{2b + a — 2b}{b} = \frac{a}{b} \).

Это и есть искомое значение.