Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 800 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При каком значении \( x \):
а) значение функции \( y = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \) равно \( -6 \); \( 0 \); \( 0,8 \); \( 0,56 \)
б) значение функции \( y = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \) равно \( 1,5 \); \( 3 \); \( 7 \)?
а) \( y = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \)
при \( y = -6 \):
\( -6 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \)
\( -6(x^2 + 1) = 5x — 7 \)
\( -6x^2 — 6 — 5x + 7 = 0 \)
\( 6x^2 + 5x — 1 = 0 \)
\( D = 25 + 4 \cdot 6 = 49 = 7^2 \)
\( x_1 = \frac{-5 — 7}{12} = -1 \)
\( x_2 = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
Ответ: \( x = -1, x = \frac{1}{6} \)
при \( y = 0 \):
\( 0 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \)
\( 5x — 7 = 0 \)
\( 5x = 7 \)
\( x = 1,4 \)
Ответ: \( x = 1,4 \)
при \( y = 0,8 \):
\( 0,8 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \)
\( 0,8(x^2 + 1) = 5x — 7 \)
\( 0,8x^2 + 0,8 — 5x + 7 = 0 \)
\( 0,8x^2 — 5x + 7,8 = 0 \) \( | \cdot 5 \)
\( 4x^2 — 25x + 39 = 0 \)
\( D = 625 — 4 \cdot 4 \cdot 39 = 1 \)
\( x_1 = \frac{25 — 1}{8} = 3 \)
\( x_2 = \frac{25 + 1}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \)
Ответ: \( x = 3, x = \frac{13}{4} \)
при \( y = 0,56 \):
\( 0,56 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \)
\( 0,56x^2 + 0,56 — 5x + 7 = 0 \)
\( 0,56x^2 — 5x + 7,56 = 0 \) \( | \cdot 25 \)
\( 14x^2 — 125x + 189 = 0 \)
\( D = 15625 — 4 \cdot 14 \cdot 189 = 15625 — 10584 = 5041 = 71^2 \)
\( x_1 = \frac{125 — 71}{28} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14} \)
\( x_2 = \frac{125 + 71}{28} = \frac{196}{28} = 7 \)
Ответ: \( x = \frac{27}{14}, x = 7 \)
б) \( y = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4}, x \neq -4 \)
при \( y = 1,5 \):
\( 1,5 = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \)
\( 1,5(x + 4) = x^2 — 2x + 6 \)
\( 1,5x + 6 = x^2 — 2x + 6 \)
\( x^2 — 2x + 6 — 1,5x — 6 = 0 \)
\( x^2 — 3,5x = 0 \)
\( x(x — 3,5) = 0 \)
\( x = 0, x = 3,5 \)
Ответ: \( x = 0, x = 3,5 \)
при \( y = 3 \):
\( 3 = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \)
\( 3(x + 4) = x^2 — 2x + 6 \)
\( 3x + 12 = x^2 — 2x + 6 \)
\( x^2 — 2x + 6 — 3x — 12 = 0 \)
\( x^2 — 5x — 6 = 0 \)
\( D = 25 + 4 \cdot 6 = 49 = 7^2 \)
\( x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \)
\( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)
Ответ: \( x = -1, x = 6 \)
при \( y = 7 \):
\( 7 = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \)
\( 7(x + 4) = x^2 — 2x + 6 \)
\( 7x + 28 = x^2 — 2x + 6 \)
\( x^2 — 2x + 6 — 7x — 28 = 0 \)
\( x^2 — 9x — 22 = 0 \)
\( D = 81 + 4 \cdot 22 = 169 = 13^2 \)
\( x_1 = \frac{9 — 13}{2} = -2 \)
\( x_2 = \frac{9 + 13}{2} = 11 \)
Ответ: \( x = -2, x = 11 \)
а) \( y = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \)
при \( y = -6 \): Подставляем значение \( y = -6 \) в уравнение функции и получаем \( -6 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \). Умножаем обе части на знаменатель \( x^2 + 1 \), чтобы избавиться от дроби: \( -6(x^2 + 1) = 5x — 7 \). Раскрываем скобки слева: \( -6x^2 — 6 = 5x — 7 \). Переносим все члены в левую часть: \( -6x^2 — 6 — 5x + 7 = 0 \), что приводит к \( -6x^2 — 5x + 1 = 0 \). Умножаем на \( -1 \) для удобства: \( 6x^2 + 5x — 1 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Вычисляем \( D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2 \). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Применяем формулу корней: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{12} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-5 — 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \). Оба значения являются решениями исходного уравнения.
при \( y = 0 \): Подставляем \( y = 0 \) в функцию: \( 0 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \). Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен для любого действительного \( x \), поэтому приравниваем числитель к нулю: \( 5x — 7 = 0 \). Решаем линейное уравнение: \( 5x = 7 \), откуда \( x = \frac{7}{5} = 1,4 \). Это единственное решение для данного случая.
при \( y = 0,8 \): Подставляем \( y = 0,8 \) в уравнение: \( 0,8 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \). Умножаем обе части на \( x^2 + 1 \): \( 0,8(x^2 + 1) = 5x — 7 \). Раскрываем скобки: \( 0,8x^2 + 0,8 = 5x — 7 \). Переносим все в левую часть: \( 0,8x^2 + 0,8 — 5x + 7 = 0 \), что дает \( 0,8x^2 — 5x + 7,8 = 0 \). Для удобства умножаем на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби: \( 4x^2 — 25x + 39 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = (-25)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625 — 624 = 1 = 1^2 \). Дискриминант равен 1, что означает наличие двух различных рациональных корней. Применяем формулу: \( x = \frac{25 \pm 1}{8} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{25 — 1}{8} = \frac{24}{8} = 3 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{25 + 1}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3,25 \). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.
при \( y = 0,56 \): Подставляем \( y = 0,56 \) в функцию: \( 0,56 = \frac{5x — 7}{x^2 + 1} \). Умножаем на знаменатель: \( 0,56(x^2 + 1) = 5x — 7 \). Раскрываем скобки: \( 0,56x^2 + 0,56 = 5x — 7 \). Переносим все члены: \( 0,56x^2 — 5x + 7,56 = 0 \). Умножаем на 25 для избавления от десятичных дробей: \( 14x^2 — 125x + 189 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = (-125)^2 — 4 \cdot 14 \cdot 189 = 15625 — 10584 = 5041 = 71^2 \). Дискриминант является полным квадратом, что гарантирует рациональные корни. Применяем формулу корней: \( x = \frac{125 \pm 71}{28} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{125 — 71}{28} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{125 + 71}{28} = \frac{196}{28} = 7 \). Оба значения являются корректными решениями.
б) \( y = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4}, x \neq -4 \)
при \( y = 1,5 \): Подставляем \( y = 1,5 \) в функцию: \( 1,5 = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \). Умножаем обе части на знаменатель \( x + 4 \): \( 1,5(x + 4) = x^2 — 2x + 6 \). Раскрываем скобки слева: \( 1,5x + 6 = x^2 — 2x + 6 \). Переносим все члены в правую часть: \( 0 = x^2 — 2x + 6 — 1,5x — 6 \), что упрощается до \( 0 = x^2 — 3,5x \).
Факторизуем полученное уравнение: \( x^2 — 3,5x = 0 \) можно записать как \( x(x — 3,5) = 0 \). По свойству произведения, равного нулю, получаем два решения: \( x = 0 \) или \( x — 3,5 = 0 \), откуда \( x = 3,5 \). Оба значения не равны \( -4 \), поэтому они входят в область определения функции. Проверим: при \( x = 0 \) получаем \( y = \frac{0 — 0 + 6}{0 + 4} = \frac{6}{4} = 1,5 \) ✓; при \( x = 3,5 \) получаем \( y = \frac{12,25 — 7 + 6}{7,5} = \frac{11,25}{7,5} = 1,5 \) ✓.
при \( y = 3 \): Подставляем \( y = 3 \) в функцию: \( 3 = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \). Умножаем на знаменатель: \( 3(x + 4) = x^2 — 2x + 6 \). Раскрываем скобки: \( 3x + 12 = x^2 — 2x + 6 \). Переносим все в левую часть: \( 0 = x^2 — 2x + 6 — 3x — 12 \), что дает \( 0 = x^2 — 5x — 6 \), или \( x^2 — 5x — 6 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2 \). Применяем формулу корней: \( x = \frac{5 \pm 7}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{5 — 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). Оба значения не равны \( -4 \), поэтому оба являются решениями. Проверим: при \( x = -1 \) получаем \( y = \frac{1 + 2 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3 \) ✓; при \( x = 6 \) получаем \( y = \frac{36 — 12 + 6}{10} = \frac{30}{10} = 3 \) ✓.
при \( y = 7 \): Подставляем \( y = 7 \) в функцию: \( 7 = \frac{x^2 — 2x + 6}{x + 4} \). Умножаем на знаменатель: \( 7(x + 4) = x^2 — 2x + 6 \). Раскрываем скобки: \( 7x + 28 = x^2 — 2x + 6 \). Переносим все в левую часть: \( 0 = x^2 — 2x + 6 — 7x — 28 \), что упрощается до \( 0 = x^2 — 9x — 22 \), или \( x^2 — 9x — 22 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2 \). Дискриминант является полным квадратом. Применяем формулу: \( x = \frac{9 \pm 13}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{9 — 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11 \). Оба значения не равны \( -4 \), поэтому оба входят в область определения. Проверим: при \( x = -2 \) получаем \( y = \frac{4 + 4 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) ✓; при \( x = 11 \) получаем \( y = \frac{121 — 22 + 6}{15} = \frac{105}{15} = 7 \) ✓.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!