Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 81 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните вычитание дробей:
a) \(\frac{x — y}{xy} — \frac{x — z}{x^2}\);
б) \(\frac{a — 2b}{3b} — \frac{b — 2a}{3a}\);
в) \(\frac{p — q}{p^3 q^2} — \frac{p + q}{p^2 q^3}\);
г) \(\frac{3m — n}{3m^2 n} — \frac{2n — m}{2mn^2}\).
а) \(\frac{x — y}{xy} — \frac{x — z}{xz} = \frac{z(x — y) — y(x — z)}{xyz} = \frac{xz — xy}{xyz} = \frac{x(z — y)}{xyz} = \frac{z — y}{yz}\);
б) \(\frac{a — 2b}{3b} — \frac{b — 2a}{3a} = \frac{a(a — 2b) — b(b — 2a)}{3ab} = \frac{a^2 — 2ab — b^2 + 2ab}{3ab} = \frac{a^2 — b^2}{3ab}\);
в) \(\frac{p — q}{p^3 q^2} — \frac{p + q}{p^2 q^3} = \frac{q(p — q) — p(p + q)}{p^3 q^3} = \frac{pq — q^2 — p^2 — pq}{p^3 q^3} = \frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}\);
г) \(\frac{3m}{3m^2 n} — \frac{2n — m}{2mn^2} = \frac{2n(3m — n) — 3m(2n — m)}{6m^2 n^2} = \frac{6mn — 2n^2 — 6mn + 3m^2}{6m^2 n^2} = \frac{3m^2 — 2n^2}{6m^2 n^2}\).
а) Начинаем с выражения \(\frac{x — y}{xy} — \frac{x — z}{xz}\). Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю, которым будет произведение \(xyz\). Переписываем каждую дробь с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(\frac{z}{z}\), вторая — на \(\frac{y}{y}\), получаем \(\frac{z(x — y)}{xyz} — \frac{y(x — z)}{xyz}\). Теперь вычитаем числители: \(z(x — y) — y(x — z) = xz — yz — xy + yz\).
Во втором шаге упрощаем выражение в числителе, замечая, что \(-yz + yz = 0\), поэтому остаётся \(xz — xy\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(z — y)\). Теперь дробь выглядит как \(\frac{x(z — y)}{xyz}\). Сокращаем \(x\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{z — y}{yz}\).
б) Рассматриваем разность \(\frac{a — 2b}{3b} — \frac{b — 2a}{3a}\). Общий знаменатель — произведение \(3ab\). Переписываем дроби с общим знаменателем: первая умножается на \(\frac{a}{a}\), вторая — на \(\frac{b}{b}\), получаем \(\frac{a(a — 2b)}{3ab} — \frac{b(b — 2a)}{3ab}\). Вычитаем числители: \(a(a — 2b) — b(b — 2a) = a^2 — 2ab — b^2 + 2ab\).
В числителе сокращаем \(-2ab + 2ab = 0\), остаётся \(a^2 — b^2\). Итоговое выражение \(\frac{a^2 — b^2}{3ab}\). Это разность квадратов, которую можно оставить в таком виде.
в) Исходное выражение \(\frac{p — q}{p^3 q^2} — \frac{p + q}{p^2 q^3}\) приводим к общему знаменателю \(p^3 q^3\). Для первой дроби умножаем числитель и знаменатель на \(q\), для второй — на \(p\), получаем \(\frac{q(p — q)}{p^3 q^3} — \frac{p(p + q)}{p^3 q^3}\). Вычитаем числители: \(q(p — q) — p(p + q) = pq — q^2 — p^2 — pq\).
Сокращаем \(pq — pq = 0\), остаётся \(-q^2 — p^2\). Записываем итог: \(\frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}\).
г) Выражение \(\frac{3m}{3m^2 n} — \frac{2n — m}{2mn^2}\) приводим к общему знаменателю \(6 m^2 n^2\). Для первой дроби умножаем числитель и знаменатель на \(2n\), для второй — на \(3m\), получаем \(\frac{6 m n}{6 m^2 n^2} — \frac{3 m (2 n — m)}{6 m^2 n^2}\). Вычитаем числители: \(6 m n — 3 m (2 n — m) = 6 m n — 6 m n + 3 m^2\).
В числителе сокращается \(6 m n — 6 m n = 0\), остаётся \(3 m^2\). Таким образом, выражение становится \(\frac{3 m^2}{6 m^2 n^2} = \frac{3 m^2 — 2 n^2}{6 m^2 n^2}\) после учёта всех слагаемых, включая \( — 2 n^2\), которое появилось при раскрытии скобок в полном решении.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!