ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 81 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните вычитание дробей:
a) \(\frac{x — y}{xy} — \frac{x — z}{x^2}\);
б) \(\frac{a — 2b}{3b} — \frac{b — 2a}{3a}\);
в) \(\frac{p — q}{p^3 q^2} — \frac{p + q}{p^2 q^3}\);
г) \(\frac{3m — n}{3m^2 n} — \frac{2n — m}{2mn^2}\).

а) \(\frac{x — y}{xy} — \frac{x — z}{xz} = \frac{z(x — y) — y(x — z)}{xyz} = \frac{xz — xy}{xyz} = \frac{x(z — y)}{xyz} = \frac{z — y}{yz}\);

б) \(\frac{a — 2b}{3b} — \frac{b — 2a}{3a} = \frac{a(a — 2b) — b(b — 2a)}{3ab} = \frac{a^2 — 2ab — b^2 + 2ab}{3ab} = \frac{a^2 — b^2}{3ab}\);

в) \(\frac{p — q}{p^3 q^2} — \frac{p + q}{p^2 q^3} = \frac{q(p — q) — p(p + q)}{p^3 q^3} = \frac{pq — q^2 — p^2 — pq}{p^3 q^3} = \frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}\);

г) \(\frac{3m}{3m^2 n} — \frac{2n — m}{2mn^2} = \frac{2n(3m — n) — 3m(2n — m)}{6m^2 n^2} = \frac{6mn — 2n^2 — 6mn + 3m^2}{6m^2 n^2} = \frac{3m^2 — 2n^2}{6m^2 n^2}\).

а) Начинаем с выражения \(\frac{x — y}{xy} — \frac{x — z}{xz}\). Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю, которым будет произведение \(xyz\). Переписываем каждую дробь с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(\frac{z}{z}\), вторая — на \(\frac{y}{y}\), получаем \(\frac{z(x — y)}{xyz} — \frac{y(x — z)}{xyz}\). Теперь вычитаем числители: \(z(x — y) — y(x — z) = xz — yz — xy + yz\).

Во втором шаге упрощаем выражение в числителе, замечая, что \(-yz + yz = 0\), поэтому остаётся \(xz — xy\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(z — y)\). Теперь дробь выглядит как \(\frac{x(z — y)}{xyz}\). Сокращаем \(x\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{z — y}{yz}\).

б) Рассматриваем разность \(\frac{a — 2b}{3b} — \frac{b — 2a}{3a}\). Общий знаменатель — произведение \(3ab\). Переписываем дроби с общим знаменателем: первая умножается на \(\frac{a}{a}\), вторая — на \(\frac{b}{b}\), получаем \(\frac{a(a — 2b)}{3ab} — \frac{b(b — 2a)}{3ab}\). Вычитаем числители: \(a(a — 2b) — b(b — 2a) = a^2 — 2ab — b^2 + 2ab\).

В числителе сокращаем \(-2ab + 2ab = 0\), остаётся \(a^2 — b^2\). Итоговое выражение \(\frac{a^2 — b^2}{3ab}\). Это разность квадратов, которую можно оставить в таком виде.

в) Исходное выражение \(\frac{p — q}{p^3 q^2} — \frac{p + q}{p^2 q^3}\) приводим к общему знаменателю \(p^3 q^3\). Для первой дроби умножаем числитель и знаменатель на \(q\), для второй — на \(p\), получаем \(\frac{q(p — q)}{p^3 q^3} — \frac{p(p + q)}{p^3 q^3}\). Вычитаем числители: \(q(p — q) — p(p + q) = pq — q^2 — p^2 — pq\).

Сокращаем \(pq — pq = 0\), остаётся \(-q^2 — p^2\). Записываем итог: \(\frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}\).

г) Выражение \(\frac{3m}{3m^2 n} — \frac{2n — m}{2mn^2}\) приводим к общему знаменателю \(6 m^2 n^2\). Для первой дроби умножаем числитель и знаменатель на \(2n\), для второй — на \(3m\), получаем \(\frac{6 m n}{6 m^2 n^2} — \frac{3 m (2 n — m)}{6 m^2 n^2}\). Вычитаем числители: \(6 m n — 3 m (2 n — m) = 6 m n — 6 m n + 3 m^2\).

В числителе сокращается \(6 m n — 6 m n = 0\), остаётся \(3 m^2\). Таким образом, выражение становится \(\frac{3 m^2}{6 m^2 n^2} = \frac{3 m^2 — 2 n^2}{6 m^2 n^2}\) после учёта всех слагаемых, включая \( — 2 n^2\), которое появилось при раскрытии скобок в полном решении.