Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 82 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(x + \frac{1}{y}\);
б) \(3a — \frac{a}{4}\);
в) \(\frac{a^2}{a} + b — a\);
г) \(5b — \frac{2}{b}\);
д) \(2p — \frac{4p^2 + 1}{2p}\);
е) \(\frac{(a-b)^2}{2a} + b\);
ж) \(c — \frac{(b+c)^2}{2b}\).
а) \(x + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}\)
Приводим к общему знаменателю \(y\): \(\frac{xy}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}\).
б) \(\frac{1}{a} — a = \frac{1 — a^2}{a}\)
Приводим к общему знаменателю \(a\): \(\frac{1}{a} — \frac{a^2}{a} = \frac{1 — a^2}{a}\).
в) \(3a — \frac{a}{4} = \frac{12a — a}{4} = \frac{11a}{4}\)
Приводим к общему знаменателю 4: \(\frac{3a \cdot 4}{4} — \frac{a}{4} = \frac{12a — a}{4}\).
г) \(5b — \frac{2}{b} = \frac{5b^2 — 2}{b}\)
Приводим к общему знаменателю \(b\): \(\frac{5b \cdot b}{b} — \frac{2}{b} = \frac{5b^2 — 2}{b}\).
д) \(\frac{a^2 + b}{a} — a = \frac{a^2 + b — a^2}{a} = \frac{b}{a}\)
Приводим \(a\) к дроби с знаменателем \(a\): \(\frac{a^2 + b}{a} — \frac{a^2}{a} = \frac{b}{a}\).
е) \(2p — \frac{4p^2 + 1}{2p} = \frac{4p^2 — 4p^2 — 1}{2p} = -\frac{1}{2p}\)
Приводим к общему знаменателю \(2p\): \(\frac{2p \cdot 2p}{2p} — \frac{4p^2 + 1}{2p} = \frac{4p^2 — (4p^2 + 1)}{2p}\).
ж) \(\frac{(a — b)^2}{2a} + b = \frac{a^2 — 2ab + b^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{a^2 + b^2}{2a}\)
Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю \(2a\).
з) \(\frac{(b + c)^2}{2b} — c = \frac{b^2 + 2bc + c^2}{2b} — \frac{2bc}{2b} = \frac{b^2 + c^2}{2b}\)
Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю \(2b\).
а) Начинаем с выражения \(x + \frac{1}{y}\). Чтобы привести сумму к общему знаменателю, нужно записать \(x\) в виде дроби с знаменателем \(y\). Для этого умножаем и числитель, и знаменатель на \(y\), получая \(\frac{xy}{y}\). Теперь можно сложить дроби: \(\frac{xy}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}\). Таким образом, исходное выражение преобразовалось к одной дроби с общим знаменателем \(y\).
Второй шаг — убедиться, что дробь записана корректно и упрощений больше нет. Числитель \(xy + 1\) не раскладывается на множители, а знаменатель уже простой. Итоговый результат: \(x + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{a} — a\). Чтобы вычесть число \(a\) из дроби, нужно привести оба слагаемых к общему знаменателю. Записываем \(a\) как дробь \(\frac{a^2}{a}\), поскольку \(a = \frac{a^2}{a}\) при \(a \neq 0\). Теперь можно выполнить вычитание: \(\frac{1}{a} — \frac{a^2}{a} = \frac{1 — a^2}{a}\). Здесь числитель — разность квадратов, но дальше раскладывать не нужно, так как это не требуется по условию.
Проверяем, что знаменатель не равен нулю, и завершаем преобразование. Итог: \(\frac{1}{a} — a = \frac{1 — a^2}{a}\).
в) В выражении \(3a — \frac{a}{4}\) для сложения нужно привести к общему знаменателю. Первая часть — целое число \(3a\), которую можно записать как \(\frac{12a}{4}\), умножив числитель и знаменатель на 4. Теперь выражение становится \(\frac{12a}{4} — \frac{a}{4} = \frac{12a — a}{4} = \frac{11a}{4}\). В числителе просто вычитаем коэффициенты при \(a\).
Таким образом, \(3a — \frac{a}{4}\) упрощается до дроби с общим знаменателем 4 и числителем \(11a\).
г) Выражение \(5b — \frac{2}{b}\) требует приведения к общему знаменателю. Записываем \(5b\) как \(\frac{5b^2}{b}\), умножив числитель и знаменатель на \(b\). Теперь вычитание выглядит так: \(\frac{5b^2}{b} — \frac{2}{b} = \frac{5b^2 — 2}{b}\). Здесь числитель — разность двух членов, знаменатель — \(b\).
Результат — дробь с общим знаменателем \(b\) и числителем \(5b^2 — 2\).
д) Рассмотрим выражение \(\frac{a^2 + b}{a} — a\). Чтобы вычесть \(a\), нужно привести его к дроби с тем же знаменателем \(a\), то есть записать как \(\frac{a^2}{a}\). Теперь разность выглядит так: \(\frac{a^2 + b}{a} — \frac{a^2}{a} = \frac{a^2 + b — a^2}{a} = \frac{b}{a}\). В числителе \(a^2\) сокращается, остается только \(b\).
Итоговое выражение — простая дробь \(\frac{b}{a}\).
е) В выражении \(2p — \frac{4p^2 + 1}{2p}\) нужно привести слагаемые к общему знаменателю. Записываем \(2p\) как \(\frac{4p^2}{2p}\), умножив числитель и знаменатель на \(2p\). Теперь выражение становится \(\frac{4p^2}{2p} — \frac{4p^2 + 1}{2p} = \frac{4p^2 — (4p^2 + 1)}{2p} = \frac{4p^2 — 4p^2 — 1}{2p} = -\frac{1}{2p}\).
Таким образом, выражение упрощается до \(-\frac{1}{2p}\).
ж) Рассмотрим выражение \(\frac{(a — b)^2}{2a} + b\). Раскрываем квадрат в числителе: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Теперь записываем \(b\) с общим знаменателем \(2a\) как \(\frac{2ab}{2a}\). Складываем дроби: \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{a^2 — 2ab + b^2 + 2ab}{2a}\). В числителе \(-2ab + 2ab = 0\), поэтому остается \(\frac{a^2 + b^2}{2a}\).
з) В выражении \(\frac{(b + c)^2}{2b} — c\) раскрываем квадрат в числителе: \((b + c)^2 = b^2 + 2bc + c^2\). Чтобы вычесть \(c\), записываем его с общим знаменателем \(2b\) как \(\frac{2bc}{2b}\). Теперь разность: \(\frac{b^2 + 2bc + c^2}{2b} — \frac{2bc}{2b} = \frac{b^2 + 2bc + c^2 — 2bc}{2b} = \frac{b^2 + c^2}{2b}\).
Таким образом, выражение упрощается до \(\frac{b^2 + c^2}{2b}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!