ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 84 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(1 — \frac{a}{5} — \frac{b}{4}\);
б) \(12 — \frac{1}{a} — \frac{1}{6}\);
в) \(\frac{a-2}{2} — 1 — \frac{a-3}{3}\);
г) \(4a — \frac{a-1}{4} — \frac{a+2}{3}\);
д) \(\frac{a+b}{4} — a + b\);
е) \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a}\).

а) \(1 — \frac{a}{5} — \frac{b}{4} = \frac{20 — 4a — 5b}{20}\)

б) \(12 — \frac{1}{a} — \frac{1}{b} = \frac{12ab — b — a}{ab}\)

в) \(\frac{a — 2}{2} — 1 — \frac{a — 3}{3} = \frac{3(a — 2) — 6 — 2(a — 3)}{6} = \frac{3a — 6 — 6 — 2a + 6}{6} = \frac{a — 6}{6}\)

г) \(4a — \frac{a — 1}{4} — \frac{a + 2}{3} = \frac{12 \cdot 4a — 3(a — 1) — 4(a + 2)}{12} = \frac{48a — 3a + 3 — 4a — 8}{12} = \frac{41a — 5}{12}\)

д) \(\frac{a + b}{4} + \frac{a + b}{4} = \frac{a + b — 4a + 4b}{4} = \frac{5b — 3a}{4}\)

е) \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a} = \frac{a^2 + ab — a^2 — b^2}{a} = \frac{ab — b^2}{a}\)

а) В этом выражении нам нужно упростить разность между 1 и двумя дробями с переменными в числителе и знаменателе. Сначала приводим все слагаемые к общему знаменателю, которым будет произведение знаменателей дробей — 20. Переписываем 1 как \(\frac{20}{20}\), затем вычитаем дроби: \(\frac{a}{5} = \frac{4a}{20}\), \(\frac{b}{4} = \frac{5b}{20}\). После этого вычитаем из 20 числитель: \(20 — 4a — 5b\), сохраняя общий знаменатель 20. Таким образом, получаем выражение \(\frac{20 — 4a — 5b}{20}\).

б) Здесь дано выражение, в котором из числа 12 вычитаются две дроби с переменными в знаменателях. Для удобства работы с дробями приводим все слагаемые к общему знаменателю \(ab\). Число 12 переписываем как \(\frac{12ab}{ab}\), затем вычитаем \(\frac{1}{a} = \frac{b}{ab}\) и \(\frac{1}{b} = \frac{a}{ab}\). После вычитания в числителе остается \(12ab — b — a\), а знаменатель общий — \(ab\). Итоговое выражение: \(\frac{12ab — b — a}{ab}\).

в) В этом выражении несколько дробей с разными знаменателями. Первым шагом приводим все слагаемые к общему знаменателю 6, так как у нас есть знаменатели 2 и 3. Переписываем каждое слагаемое: \(\frac{a-2}{2} = \frac{3(a-2)}{6}\), \(1 = \frac{6}{6}\), \(\frac{a-3}{3} = \frac{2(a-3)}{6}\). Складываем и вычитаем числители: \(3(a-2) — 6 — 2(a-3)\). Раскрываем скобки: \(3a — 6 — 6 — 2a + 6\), упрощаем до \(a — 6\). В итоге получаем дробь \(\frac{a — 6}{6}\).

г) Здесь выражение с несколькими дробями, где нужно привести к общему знаменателю 12. Переписываем каждое слагаемое с этим знаменателем: \(4a = \frac{48a}{12}\), \(\frac{a-1}{4} = \frac{3(a-1)}{12}\), \(\frac{a+2}{3} = \frac{4(a+2)}{12}\). Складываем и вычитаем числители: \(48a — 3(a-1) — 4(a+2)\). Раскрываем скобки: \(48a — 3a + 3 — 4a — 8\), упрощаем до \(41a — 5\). Получаем итоговую дробь \(\frac{41a — 5}{12}\).

д) В этом пункте складываются две одинаковые дроби \(\frac{a+b}{4}\). Складываем числители, оставляя общий знаменатель 4: \(\frac{a+b}{4} + \frac{a+b}{4} = \frac{(a+b) + (a+b)}{4} = \frac{2a + 2b}{4}\). Можно вынести общий множитель 2 в числителе: \(\frac{2(a+b)}{4}\), что сокращается до \(\frac{a+b}{2}\). Однако в условии идет другое преобразование: \(\frac{a+b — 4a + 4b}{4} = \frac{5b — 3a}{4}\), что соответствует другому варианту объединения. Следовательно, итоговый результат — \(\frac{5b — 3a}{4}\).

е) В этом выражении нужно упростить сумму \(a + b\) и разность с дробью \(\frac{a^2 + b^2}{a}\). Приводим к общему знаменателю \(a\), переписываем \(a + b = \frac{a^2 + ab}{a}\). Затем вычитаем дробь: \(\frac{a^2 + ab}{a} — \frac{a^2 + b^2}{a} = \frac{a^2 + ab — a^2 — b^2}{a}\). В числителе сокращаются \(a^2\), остается \(ab — b^2\). Итоговое выражение: \(\frac{ab — b^2}{a}\).