Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 86 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Представьте выражение в виде дроби:
а) \(\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c}\);
б) \(\frac{x+1}{x-2} — \frac{x+3}{x}\);
в) \(\frac{m}{m-n} — \frac{n}{m+n}\);
г) \(\frac{2a}{2a-1} — \frac{1}{2a+1}\);
д) \(\frac{a}{a+2} — \frac{a}{a-2}\);
е) \(\frac{p}{3p-1} — \frac{p}{1+3p}\).
а) \(\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c} = \frac{(b+c)(b-c)}{b(b+c)} + \frac{b^2}{b(b+c)} = \frac{b^2 — c^2 + b^2}{b(b+c)} = \frac{2b^2 — c^2}{b(b+c)}\)
б) \(\frac{x+1}{x-2} — \frac{x+3}{x} = \frac{x(x+1) — (x-2)(x+3)}{x(x-2)} = \frac{x^2 + x — (x^2 + 3x — 2x — 6)}{x(x-2)} =\) \(= \frac{x^2 + x — x^2 — 3x + 2x + 6}{x(x-2)} = \frac{6}{x(x-2)}\)
в) \(\frac{m}{m-n} — \frac{n}{m+n} = \frac{m(m+n) — n(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + mn — mn + n^2}{m^2 — n^2} = \frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2}\)
г) \(\frac{2a}{2a-1} — \frac{1}{2a+1} = \frac{2a(2a+1) — (2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{4a^2 + 2a — 2a + 1}{4a^2 — 1} = \frac{4a^2 + 1}{4a^2 — 1}\)
д) \(\frac{a}{a+2} — \frac{a}{a-2} = \frac{a(a-2) — a(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a^2 — 2a — a^2 — 2a}{a^2 — 4} = \frac{-4a}{a^2 — 4} = \frac{4a}{4 — a^2}\)
е) \(\frac{p}{3p-1} — \frac{p}{1+3p} = \frac{p(3p+1) — p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)} = \frac{3p^2 + p — 3p^2 + p}{9p^2 — 1} = \frac{2p}{9p^2 — 1}\)
а) Для начала приведём два слагаемых к общему знаменателю. Первая дробь уже имеет знаменатель \(b\), а вторая — \(b+c\). Общий знаменатель будет произведением \(b(b+c)\). Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на \(b+c\), а второй — на \(b\). Получаем сумму \(\frac{(b+c)(b-c)}{b(b+c)} + \frac{b^2}{b(b+c)}\). В числителе раскрываем скобки: \((b+c)(b-c) = b^2 — c^2\). Складываем числители: \(b^2 — c^2 + b^2 = 2b^2 — c^2\). Итоговая дробь: \(\frac{2b^2 — c^2}{b(b+c)}\).
Таким образом, мы свели исходное выражение к одной дроби с общим знаменателем и упростили числитель, раскрывая произведение разности квадратов.
б) Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Здесь знаменатели — \(x-2\) и \(x\), общий знаменатель — \(x(x-2)\). Первая дробь умножается на \(x\) сверху и снизу, вторая — на \(x-2\). Получаем \(\frac{x(x+1)}{x(x-2)} — \frac{(x-2)(x+3)}{x(x-2)}\). Теперь вычитаем числители: \(x(x+1) — (x-2)(x+3)\). Раскрываем скобки: \(x^2 + x — (x^2 + 3x — 2x — 6) = x^2 + x — x^2 — 3x + 2x + 6 = 6\). Итог: \(\frac{6}{x(x-2)}\).
В этом примере важно аккуратно раскрыть скобки и правильно упростить числитель, чтобы получить конечный результат.
в) Здесь нужно вычесть две дроби с разными знаменателями \(m-n\) и \(m+n\). Общий знаменатель — произведение \((m-n)(m+n) = m^2 — n^2\). Приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} — \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}\). В числителе раскрываем скобки: \(m^2 + mn — nm + n^2 = m^2 + n^2\) (так как \(mn — nm = 0\)). Получаем \(\frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2}\).
Здесь использован приём разложения разности квадратов в знаменателе и раскрытия скобок в числителе для упрощения выражения.
г) В этом примере дроби имеют знаменатели \(2a-1\) и \(2a+1\). Общий знаменатель — их произведение \((2a-1)(2a+1) = 4a^2 — 1\). Приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{2a(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)} — \frac{1(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}\). Раскрываем числитель: \(4a^2 + 2a — 2a + 1 = 4a^2 + 1\). Итоговая дробь: \(\frac{4a^2 + 1}{4a^2 — 1}\).
Обратите внимание, что при раскрытии скобок в числителе члены \(+2a\) и \(-2a\) взаимно уничтожаются.
д) Для вычитания дробей с знаменателями \(a+2\) и \(a-2\) общий знаменатель — произведение \((a+2)(a-2) = a^2 — 4\). Приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{a(a-2)}{a^2 — 4} — \frac{a(a+2)}{a^2 — 4}\). Раскрываем числитель: \(a^2 — 2a — (a^2 + 2a) = a^2 — 2a — a^2 — 2a = -4a\). Итог: \(\frac{-4a}{a^2 — 4}\). Можно изменить знак, записав \(\frac{4a}{4 — a^2}\).
Важно аккуратно раскрывать скобки и помнить, что знак минус распространяется на весь второй числитель.
е) Здесь знаменатели \(3p-1\) и \(1+3p\) можно считать равными, так как \(1+3p = 3p+1\). Общий знаменатель — произведение \((3p-1)(3p+1) = 9p^2 — 1\). Приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{p(3p+1)}{(3p-1)(3p+1)} — \frac{p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)}\). Раскрываем числитель: \(3p^2 + p — 3p^2 + p = 2p\). Итог: \(\frac{2p}{9p^2 — 1}\).
В этом примере важно правильно раскрыть скобки и сложить подобные члены в числителе, чтобы получить окончательный результат.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!