Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 87 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\frac{3x}{5(x+y)} — \frac{2y}{3(x+y)}\);
б) \(\frac{a^2}{5(a-b)} — \frac{b^2}{4(a-b)}\);
в) \(\frac{3}{ax — ay} + \frac{2}{by — bx}\);
г) \(\frac{13c}{bm — bn} — \frac{12b}{cn — cm}\).
а) \(\frac{3x}{5(x+y)} — \frac{2y}{3(x+y)} = \frac{3x \cdot 3 — 2y \cdot 5}{15(x+y)} = \frac{9x — 10y}{15(x+y)}\)
б) \(\frac{a^2}{5(a-b)} — \frac{b^2}{4(a-b)} = \frac{4a^2 — 5b^2}{20(a-b)}\)
в) \(\frac{3}{ax — ay} + \frac{2}{by — bx} = \frac{3}{a(x-y)} — \frac{2}{b(x-y)} = \frac{3b — 2a}{ab(x-y)}\)
г) \(\frac{13c}{bm — bn} — \frac{12b}{cn — cm} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}\)
а) Начинаем с выражения \(\frac{3x}{5(x+y)} — \frac{2y}{3(x+y)}\). Здесь знаменатели одинаковы с точностью до коэффициентов: \(5(x+y)\) и \(3(x+y)\). Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением \(15(x+y)\), так как \(15 = 5 \cdot 3\). Домножаем первую дробь на \(\frac{3}{3}\), а вторую — на \(\frac{5}{5}\), чтобы сохранить значение, но получить общий знаменатель:
\(\frac{3x \cdot 3}{15(x+y)} — \frac{2y \cdot 5}{15(x+y)}\).
В числителе умножаем: \(3x \cdot 3 = 9x\), \(2y \cdot 5 = 10y\). Теперь можно записать разность дробей с общим знаменателем:
\(\frac{9x — 10y}{15(x+y)}\).
Это и есть итоговое выражение, упрощённое и приведённое к общему знаменателю.
б) В выражении \(\frac{a^2}{5(a-b)} — \frac{b^2}{4(a-b)}\) знаменатель у обеих дробей одинаковый по переменным — \(a-b\), но коэффициенты 5 и 4 разные. Чтобы вычесть, нужно привести дроби к общему знаменателю — это будет \(20(a-b)\), так как 20 — наименьшее общее кратное 5 и 4. Домножаем первую дробь на \(\frac{4}{4}\), вторую — на \(\frac{5}{5}\):
\(\frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} — \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)}\).
В числителе получаем \(4a^2\) и \(5b^2\). Теперь объединяем под одним знаменателем:
\(\frac{4a^2 — 5b^2}{20(a-b)}\).
Это выражение уже упрощено и готово к дальнейшему использованию.
в) Рассмотрим выражение \(\frac{3}{ax — ay} + \frac{2}{by — bx}\). В числителе и знаменателе каждой дроби есть общие множители, которые можно вынести. В первом знаменателе:
\(ax — ay = a(x — y)\),
во втором:
\(by — bx = b(y — x) = -b(x — y)\).
Переписываем дроби с учётом этого:
\(\frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} — \frac{2}{b(x-y)}\).
Теперь знаменатель у обеих дробей одинаковый — \(a(x-y)\) и \(b(x-y)\). Общий знаменатель будет \(ab(x-y)\). Домножаем первую дробь на \(\frac{b}{b}\), вторую — на \(\frac{a}{a}\):
\(\frac{3b}{ab(x-y)} — \frac{2a}{ab(x-y)} = \frac{3b — 2a}{ab(x-y)}\).
Получили итоговое выражение с общим знаменателем и упрощённым числителем.
г) В выражении \(\frac{13c}{bm — bn} — \frac{12b}{cn — cm}\) сначала раскроем скобки в знаменателях, выделяя общий множитель:
\(bm — bn = b(m — n)\),
\(cn — cm = c(n — m) = -c(m — n)\).
Вторую дробь перепишем с учётом знака:
\(\frac{13c}{b(m-n)} — \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)}\).
Общий знаменатель будет \(bc(m-n)\). Домножаем первую дробь на \(\frac{c}{c}\), вторую — на \(\frac{b}{b}\):
\(\frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}\).
Это окончательное упрощённое выражение с общим знаменателем и объединённым числителем.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!