ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 87 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\frac{3x}{5(x+y)} — \frac{2y}{3(x+y)}\);
б) \(\frac{a^2}{5(a-b)} — \frac{b^2}{4(a-b)}\);
в) \(\frac{3}{ax — ay} + \frac{2}{by — bx}\);
г) \(\frac{13c}{bm — bn} — \frac{12b}{cn — cm}\).

а) \(\frac{3x}{5(x+y)} — \frac{2y}{3(x+y)} = \frac{3x \cdot 3 — 2y \cdot 5}{15(x+y)} = \frac{9x — 10y}{15(x+y)}\)

б) \(\frac{a^2}{5(a-b)} — \frac{b^2}{4(a-b)} = \frac{4a^2 — 5b^2}{20(a-b)}\)

в) \(\frac{3}{ax — ay} + \frac{2}{by — bx} = \frac{3}{a(x-y)} — \frac{2}{b(x-y)} = \frac{3b — 2a}{ab(x-y)}\)

г) \(\frac{13c}{bm — bn} — \frac{12b}{cn — cm} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{3x}{5(x+y)} — \frac{2y}{3(x+y)}\). Здесь знаменатели одинаковы с точностью до коэффициентов: \(5(x+y)\) и \(3(x+y)\). Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением \(15(x+y)\), так как \(15 = 5 \cdot 3\). Домножаем первую дробь на \(\frac{3}{3}\), а вторую — на \(\frac{5}{5}\), чтобы сохранить значение, но получить общий знаменатель:

\(\frac{3x \cdot 3}{15(x+y)} — \frac{2y \cdot 5}{15(x+y)}\).

В числителе умножаем: \(3x \cdot 3 = 9x\), \(2y \cdot 5 = 10y\). Теперь можно записать разность дробей с общим знаменателем:

\(\frac{9x — 10y}{15(x+y)}\).

Это и есть итоговое выражение, упрощённое и приведённое к общему знаменателю.

б) В выражении \(\frac{a^2}{5(a-b)} — \frac{b^2}{4(a-b)}\) знаменатель у обеих дробей одинаковый по переменным — \(a-b\), но коэффициенты 5 и 4 разные. Чтобы вычесть, нужно привести дроби к общему знаменателю — это будет \(20(a-b)\), так как 20 — наименьшее общее кратное 5 и 4. Домножаем первую дробь на \(\frac{4}{4}\), вторую — на \(\frac{5}{5}\):

\(\frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} — \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)}\).

В числителе получаем \(4a^2\) и \(5b^2\). Теперь объединяем под одним знаменателем:

\(\frac{4a^2 — 5b^2}{20(a-b)}\).

Это выражение уже упрощено и готово к дальнейшему использованию.

в) Рассмотрим выражение \(\frac{3}{ax — ay} + \frac{2}{by — bx}\). В числителе и знаменателе каждой дроби есть общие множители, которые можно вынести. В первом знаменателе:

\(ax — ay = a(x — y)\),

во втором:

\(by — bx = b(y — x) = -b(x — y)\).

Переписываем дроби с учётом этого:

\(\frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} — \frac{2}{b(x-y)}\).

Теперь знаменатель у обеих дробей одинаковый — \(a(x-y)\) и \(b(x-y)\). Общий знаменатель будет \(ab(x-y)\). Домножаем первую дробь на \(\frac{b}{b}\), вторую — на \(\frac{a}{a}\):

\(\frac{3b}{ab(x-y)} — \frac{2a}{ab(x-y)} = \frac{3b — 2a}{ab(x-y)}\).

Получили итоговое выражение с общим знаменателем и упрощённым числителем.

г) В выражении \(\frac{13c}{bm — bn} — \frac{12b}{cn — cm}\) сначала раскроем скобки в знаменателях, выделяя общий множитель:

\(bm — bn = b(m — n)\),

\(cn — cm = c(n — m) = -c(m — n)\).

Вторую дробь перепишем с учётом знака:

\(\frac{13c}{b(m-n)} — \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)}\).

Общий знаменатель будет \(bc(m-n)\). Домножаем первую дробь на \(\frac{c}{c}\), вторую — на \(\frac{b}{b}\):

\(\frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}\).

Это окончательное упрощённое выражение с общим знаменателем и объединённым числителем.