ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 89 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях \( y \) значение выражения не зависит от \( y \):
a) \(\frac{5y+3}{2y+2} — \frac{7y+4}{3y+3}\),
б) \(\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}\).

а) \(\frac{5y + 3}{2y + 2} — \frac{7y + 4}{3y + 3} = \frac{5y + 3}{2(y + 1)} — \frac{7y + 4}{3(y + 1)} = \frac{3(5y + 3) — 2(7y + 4)}{6(y + 1)} = \frac{15y + 9 — 14y — 8}{6(y + 1)} =\) \(= \frac{y + 1}{6(y + 1)} = \frac{1}{6}\) — не зависит от \(y\).

б) \(\frac{11y + 13}{3y — 3} + \frac{15y + 17}{4 — 4y} = \frac{11y + 13}{3(y — 1)} + \frac{15y + 17}{-4(y — 1)} = \frac{4(11y + 13) — 3(15y + 17)}{12(y — 1)} =\) \(= \frac{44y + 52 — 45y — 51}{12(y — 1)} = \frac{-y + 1}{12(y — 1)} = \frac{-(y — 1)}{12(y — 1)} = -\frac{1}{12}\) — не зависит от \(y\).

а) Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Первая дробь \(\frac{5y + 3}{2y + 2}\) преобразуется, учитывая, что \(2y + 2 = 2(y + 1)\). Вторая дробь \(\frac{7y + 4}{3y + 3}\) аналогично преобразуется с знаменателем \(3(y + 1)\). Теперь обе дроби имеют знаменатель, содержащий выражение \(y + 1\), что позволяет записать разность дробей как разность числителей, делённую на общий знаменатель \(6(y + 1)\), так как общий знаменатель — это наименьшее общее кратное знаменателей \(2(y + 1)\) и \(3(y + 1)\).

Далее вычисляем числитель: \(3(5y + 3) — 2(7y + 4) = 15y + 9 — 14y — 8 = y + 1\). Подставляем это в дробь: \(\frac{y + 1}{6(y + 1)}\). Поскольку \(y + 1 \neq 0\), сокращаем числитель и знаменатель на \(y + 1\), получая \(\frac{1}{6}\). Таким образом, выражение не зависит от переменной \(y\).

б) Для сложения двух дробей \(\frac{11y + 13}{3y — 3}\) и \(\frac{15y + 17}{4 — 4y}\) сначала приводим знаменатели к удобному виду: \(3y — 3 = 3(y — 1)\), а \(4 — 4y = -4(y — 1)\). Теперь знаменатели выражены через одинаковый множитель \((y — 1)\), что позволяет найти общий знаменатель \(12(y — 1)\), так как НОК чисел 3 и 4 равен 12.

Переписываем дроби с общим знаменателем: \(\frac{11y + 13}{3(y — 1)} = \frac{4(11y + 13)}{12(y — 1)}\), \(\frac{15y + 17}{-4(y — 1)} = \frac{-3(15y + 17)}{12(y — 1)}\). Складываем числители: \(4(11y + 13) — 3(15y + 17) = 44y + 52 — 45y — 51 = -y + 1\). Итоговая дробь: \(\frac{-y + 1}{12(y — 1)}\).

Заметим, что числитель можно переписать как \(-(y — 1)\), тогда дробь принимает вид \(\frac{-(y — 1)}{12(y — 1)}\). При условии, что \(y \neq 1\), сокращаем на \(y — 1\) и получаем \(-\frac{1}{12}\). Следовательно, выражение также не зависит от \(y\).