ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 91 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
a) \(\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2}\),
б) \(\frac{1}{b^2 — ab} — \frac{1}{ab — a^2}\).

а) \(\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2} = \frac{1}{a(a + b)} + \frac{1}{b(a + b)} = \frac{b + a}{ab(a + b)} = \frac{1}{ab}\)

б) \(\frac{1}{b^2 — ab} — \frac{1}{ab — a^2} = \frac{1}{b(b — a)} — \frac{1}{a(b — a)} = \frac{a — b}{ab(b — a)} = -\frac{1}{ab}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2}\). Обе дроби имеют в знаменателе выражения, которые можно разложить на множители. Первый знаменатель \(a^2 + ab\) раскладывается как \(a(a + b)\), а второй \(ab + b^2\) — как \(b(a + b)\). Таким образом, исходное выражение переписываем как \(\frac{1}{a(a + b)} + \frac{1}{b(a + b)}\).

Далее замечаем, что у обеих дробей общий множитель в знаменателе — \(a + b\). Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю, которым будет \(ab(a + b)\). Первая дробь умножается на \(b/b\), вторая — на \(a/a\). Получаем \(\frac{b}{ab(a + b)} + \frac{a}{ab(a + b)}\). Складывая числители, получаем \(\frac{b + a}{ab(a + b)}\). Поскольку \(b + a = a + b\), числитель и множитель в знаменателе сокращаются, и итоговый результат — \(\frac{1}{ab}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{b^2 — ab} — \frac{1}{ab — a^2}\). Знаменатели раскладываем на множители: \(b^2 — ab = b(b — a)\), а \(ab — a^2 = a(b — a)\). Таким образом, имеем \(\frac{1}{b(b — a)} — \frac{1}{a(b — a)}\).

Общий знаменатель — \(ab(b — a)\). Для приведения к нему первую дробь умножаем числитель и знаменатель на \(a\), вторую — на \(b\). Получаем \(\frac{a}{ab(b — a)} — \frac{b}{ab(b — a)}\). Вычитаем числители: \(a — b\). Итоговая дробь \(\frac{a — b}{ab(b — a)}\). Обратите внимание, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому знаменатель можно переписать как \(-ab(a — b)\), и дробь становится \(-\frac{1}{ab}\).