Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 92 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Преобразуйте в дробь выражение:
a) \(1 — \frac{a + b}{a — b}\),
б) \(\frac{a^2 + b^2}{a — b} — a\),
в) \(m — n + \frac{n^2}{m + n}\),
г) \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a + b}\),
д) \(x — \frac{9}{x — 3} — 3\),
е) \(a^2 — \frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + 1\).
а) \(1 — \frac{a+b}{a-b} = \frac{1(a-b) — (a+b)}{a-b} = \frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b} = \frac{2b}{b-a}\)
б) \(\frac{a^2 + b^2}{a-b} — a = \frac{a^2 + b^2 — a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2 + b^2 — a^2 + ab}{a-b} = \frac{b^2 + ab}{a-b}\)
в) \(m — n + \frac{n^2}{m+n} = \frac{(m-n)(m+n) + n^2}{m+n} = \frac{m^2 — n^2 + n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}\)
г) \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b) — (a^2 + b^2)}{a+b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 — b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}\)
д) \(x — \frac{9}{x-3} — 3 = \frac{x(x-3) — 9 — 3(x-3)}{x-3} = \frac{x^2 — 3x — 9 — 3x + 9}{x-3} = \frac{x^2 — 6x}{x-3}\)
е) \(\frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + 1 = \frac{a^2(a^2 — 1) — a^4 — 1 + a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{-2}{a^2 — 1} = \frac{2}{1 — a^2}\)
а) Начинаем с выражения \(1 — \frac{a+b}{a-b}\). Чтобы привести к общему знаменателю, умножаем 1 на \(\frac{a-b}{a-b}\), получаем \(\frac{a-b}{a-b} — \frac{a+b}{a-b}\). Теперь вычитаем числители: \(a-b — (a+b)\). Раскрываем скобки с минусом: \(a — b — a — b\). Сокращаем одинаковые по знаку члены: \(a — a = 0\), остаётся \(-b — b = -2b\). Итоговый числитель \(-2b\), знаменатель \(a-b\), значит выражение равно \(\frac{-2b}{a-b}\). Чтобы избавиться от минуса в числителе, меняем знак на противоположный и меняем порядок в знаменателе, получаем \(\frac{2b}{b-a}\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{a^2 + b^2}{a-b} — a\). Чтобы вычесть \(a\), приводим его к общему знаменателю: \(a = \frac{a(a-b)}{a-b}\). Теперь вычитаем: \(\frac{a^2 + b^2}{a-b} — \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2 + b^2 — a(a-b)}{a-b}\). Раскрываем скобки в числителе: \(a^2 + b^2 — a^2 + ab\). Сокращаем \(a^2 — a^2 = 0\), остаётся \(b^2 + ab\). Итоговое выражение \(\frac{b^2 + ab}{a-b}\).
в) Исходное выражение \(m — n + \frac{n^2}{m+n}\) приводим к общему знаменателю \(m+n\). Пишем \(m — n\) как \(\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}\), тогда сумма будет \(\frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n}\). Складываем числители: \((m-n)(m+n) + n^2\). Раскрываем произведение: \(m^2 — n^2 + n^2\). Сокращаем \(- n^2 + n^2 = 0\), остаётся \(m^2\). Итого, выражение равно \(\frac{m^2}{m+n}\).
г) Рассмотрим \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a+b}\). Чтобы привести к общему знаменателю, записываем \(a + b\) как \(\frac{(a+b)(a+b)}{a+b}\). Тогда выражение становится \(\frac{(a+b)(a+b)}{a+b} — \frac{a^2 + b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 — (a^2 + b^2)}{a+b}\). Раскрываем квадрат: \(a^2 + 2ab + b^2 — a^2 — b^2\). Сокращаем \(a^2 — a^2 = 0\) и \(b^2 — b^2 = 0\), остаётся \(2ab\). Значит, выражение равно \(\frac{2ab}{a+b}\).
д) Выражение \(x — \frac{9}{x-3} — 3\) приводим к общему знаменателю \(x-3\). Записываем \(x\) как \(\frac{x(x-3)}{x-3}\), а \(3\) как \(\frac{3(x-3)}{x-3}\). Тогда получаем \(\frac{x(x-3)}{x-3} — \frac{9}{x-3} — \frac{3(x-3)}{x-3} = \frac{x(x-3) — 9 — 3(x-3)}{x-3}\). Раскрываем скобки в числителе: \(x^2 — 3x — 9 — 3x + 9\). Сокращаем \(-9 + 9 = 0\), получаем \(x^2 — 6x\). Итог: \(\frac{x^2 — 6x}{x-3}\).
е) Рассмотрим \(\frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + 1\). Запишем 1 как \(\frac{a^2 — 1}{a^2 — 1}\), чтобы привести к общему знаменателю. Тогда сумма равна \(\frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + \frac{a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{a^4 + 1 + a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{a^4 + a^2}{a^2 — 1}\). Можно переписать числитель как \(a^2(a^2 + 1)\), но для упрощения используем другой подход: перепишем \(a^4 + 1\) как \(a^2(a^2 — 1) + 1 + a^2 — 1\), что соответствует разложению. В итоге получаем \(\frac{a^2(a^2 — 1) — a^4 — 1 + a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{-2}{a^2 — 1}\). Меняем знак в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{2}{1 — a^2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!