ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 92 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:
a) \(1 — \frac{a + b}{a — b}\),
б) \(\frac{a^2 + b^2}{a — b} — a\),
в) \(m — n + \frac{n^2}{m + n}\),
г) \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a + b}\),
д) \(x — \frac{9}{x — 3} — 3\),
е) \(a^2 — \frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + 1\).

а) \(1 — \frac{a+b}{a-b} = \frac{1(a-b) — (a+b)}{a-b} = \frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b} = \frac{2b}{b-a}\)

б) \(\frac{a^2 + b^2}{a-b} — a = \frac{a^2 + b^2 — a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2 + b^2 — a^2 + ab}{a-b} = \frac{b^2 + ab}{a-b}\)

в) \(m — n + \frac{n^2}{m+n} = \frac{(m-n)(m+n) + n^2}{m+n} = \frac{m^2 — n^2 + n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}\)

г) \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b) — (a^2 + b^2)}{a+b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 — b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}\)

д) \(x — \frac{9}{x-3} — 3 = \frac{x(x-3) — 9 — 3(x-3)}{x-3} = \frac{x^2 — 3x — 9 — 3x + 9}{x-3} = \frac{x^2 — 6x}{x-3}\)

е) \(\frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + 1 = \frac{a^2(a^2 — 1) — a^4 — 1 + a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{-2}{a^2 — 1} = \frac{2}{1 — a^2}\)

а) Начинаем с выражения \(1 — \frac{a+b}{a-b}\). Чтобы привести к общему знаменателю, умножаем 1 на \(\frac{a-b}{a-b}\), получаем \(\frac{a-b}{a-b} — \frac{a+b}{a-b}\). Теперь вычитаем числители: \(a-b — (a+b)\). Раскрываем скобки с минусом: \(a — b — a — b\). Сокращаем одинаковые по знаку члены: \(a — a = 0\), остаётся \(-b — b = -2b\). Итоговый числитель \(-2b\), знаменатель \(a-b\), значит выражение равно \(\frac{-2b}{a-b}\). Чтобы избавиться от минуса в числителе, меняем знак на противоположный и меняем порядок в знаменателе, получаем \(\frac{2b}{b-a}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{a^2 + b^2}{a-b} — a\). Чтобы вычесть \(a\), приводим его к общему знаменателю: \(a = \frac{a(a-b)}{a-b}\). Теперь вычитаем: \(\frac{a^2 + b^2}{a-b} — \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2 + b^2 — a(a-b)}{a-b}\). Раскрываем скобки в числителе: \(a^2 + b^2 — a^2 + ab\). Сокращаем \(a^2 — a^2 = 0\), остаётся \(b^2 + ab\). Итоговое выражение \(\frac{b^2 + ab}{a-b}\).

в) Исходное выражение \(m — n + \frac{n^2}{m+n}\) приводим к общему знаменателю \(m+n\). Пишем \(m — n\) как \(\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}\), тогда сумма будет \(\frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n}\). Складываем числители: \((m-n)(m+n) + n^2\). Раскрываем произведение: \(m^2 — n^2 + n^2\). Сокращаем \(- n^2 + n^2 = 0\), остаётся \(m^2\). Итого, выражение равно \(\frac{m^2}{m+n}\).

г) Рассмотрим \(a + b — \frac{a^2 + b^2}{a+b}\). Чтобы привести к общему знаменателю, записываем \(a + b\) как \(\frac{(a+b)(a+b)}{a+b}\). Тогда выражение становится \(\frac{(a+b)(a+b)}{a+b} — \frac{a^2 + b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 — (a^2 + b^2)}{a+b}\). Раскрываем квадрат: \(a^2 + 2ab + b^2 — a^2 — b^2\). Сокращаем \(a^2 — a^2 = 0\) и \(b^2 — b^2 = 0\), остаётся \(2ab\). Значит, выражение равно \(\frac{2ab}{a+b}\).

д) Выражение \(x — \frac{9}{x-3} — 3\) приводим к общему знаменателю \(x-3\). Записываем \(x\) как \(\frac{x(x-3)}{x-3}\), а \(3\) как \(\frac{3(x-3)}{x-3}\). Тогда получаем \(\frac{x(x-3)}{x-3} — \frac{9}{x-3} — \frac{3(x-3)}{x-3} = \frac{x(x-3) — 9 — 3(x-3)}{x-3}\). Раскрываем скобки в числителе: \(x^2 — 3x — 9 — 3x + 9\). Сокращаем \(-9 + 9 = 0\), получаем \(x^2 — 6x\). Итог: \(\frac{x^2 — 6x}{x-3}\).

е) Рассмотрим \(\frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + 1\). Запишем 1 как \(\frac{a^2 — 1}{a^2 — 1}\), чтобы привести к общему знаменателю. Тогда сумма равна \(\frac{a^4 + 1}{a^2 — 1} + \frac{a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{a^4 + 1 + a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{a^4 + a^2}{a^2 — 1}\). Можно переписать числитель как \(a^2(a^2 + 1)\), но для упрощения используем другой подход: перепишем \(a^4 + 1\) как \(a^2(a^2 — 1) + 1 + a^2 — 1\), что соответствует разложению. В итоге получаем \(\frac{a^2(a^2 — 1) — a^4 — 1 + a^2 — 1}{a^2 — 1} = \frac{-2}{a^2 — 1}\). Меняем знак в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{2}{1 — a^2}\).