ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 93 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните вычитание дробей:
a) \(\frac{a^2 + 3a}{ab — 5b} + \frac{8a — 40}{b + 8}\),
б) \(\frac{3y}{3x — 2} — \frac{3y}{6xy + 9x — 4y — 6}\).

а) \(\frac{a^2 + 3a}{ab — 5b + 8a — 40} — \frac{a}{b + 8} = \frac{a^2 + 3a}{b(a — 5) + 8(a — 5)} — \frac{a}{b + 8} = \frac{a^2 + 3a}{(a — 5)(b + 8)} — \frac{a}{b + 8} =\) \(= \frac{a^2 + 3a}{(a — 5)(b + 8)} — \frac{a(a — 5)}{(b + 8)(a — 5)} = \frac{a^2 + 3a — a^2 + 5a}{(b + 8)(a — 5)} = \frac{8a}{(b + 8)(a — 5)}\)

б) \(\frac{y}{3x — 2} — \frac{3y}{6xy + 9x — 4y — 6} = \frac{y}{3x — 2} — \frac{3y}{3x(2y + 3) — 2(2y + 3)} = \frac{y}{3x — 2} -\) \(- \frac{3y}{(3x — 2)(2y + 3)} = \frac{y(2y + 3)}{(3x — 2)(2y + 3)} — \frac{3y}{(3x — 2)(2y + 3)} = \frac{y(2y + 3) — 3y}{(3x — 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2 + 3y — 3y}{(3x — 2)(2y + 3)} =\) \(= \frac{2y^2}{(3x — 2)(2y + 3)}\)

а) В данном выражении сначала обращаем внимание на знаменатель первой дроби: \(ab — 5b + 8a — 40\). Его можно разложить на множители, сгруппировав по переменным: \(b(a — 5) + 8(a — 5)\). Вынесем общий множитель \((a — 5)\) за скобки, получим \((a — 5)(b + 8)\). Это упрощает выражение, так как теперь знаменатель записан в виде произведения двух множителей.

Далее перепишем выражение с новым знаменателем: \(\frac{a^2 + 3a}{(a — 5)(b + 8)} — \frac{a}{b + 8}\). Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение \((a — 5)(b + 8)\). Вторую дробь домножаем числитель и знаменатель на \((a — 5)\), получаем \(\frac{a(a — 5)}{(b + 8)(a — 5)}\). Теперь можно выполнить вычитание числителей в одной дроби.

В числителе вычитаем: \(a^2 + 3a — a(a — 5) = a^2 + 3a — a^2 + 5a = 8a\). Итоговое выражение становится \(\frac{8a}{(b + 8)(a — 5)}\). Таким образом, исходное выражение упрощено до дроби с произведением в знаменателе и линейным числителем.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{y}{3x — 2} — \frac{3y}{6xy + 9x — 4y — 6}\). Для начала факторизуем знаменатель второй дроби. Группируем его как \(3x(2y + 3) — 2(2y + 3)\), что позволяет вынести общий множитель \((2y + 3)\), получаем \((3x — 2)(2y + 3)\). Теперь знаменатели обеих дробей: \(3x — 2\) и \((3x — 2)(2y + 3)\).

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю \((3x — 2)(2y + 3)\). Первую дробь умножаем числитель и знаменатель на \((2y + 3)\), получаем \(\frac{y(2y + 3)}{(3x — 2)(2y + 3)}\). Вторая дробь уже имеет этот знаменатель. Теперь вычитаем числители: \(y(2y + 3) — 3y = 2y^2 + 3y — 3y = 2y^2\).

Итоговое выражение принимает вид \(\frac{2y^2}{(3x — 2)(2y + 3)}\). Таким образом, исходное выражение упрощено до дроби с квадратным числителем и разложенным на множители знаменателем.