ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 94 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
a) \(\frac{c}{b — c} + \frac{b^2 — 3bc}{b^2 — c^2}\),
б) \(\frac{a + 3}{a^2 — 1} — \frac{1}{a^2 + a}\).

а) \(\frac{c}{b-c} + \frac{b^2 — 3bc}{b^2 — c^2} = \frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} + \frac{b^2 — 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{cb + c^2 + b^2 — 3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{c^2 — 2bc + b^2}{(b-c)(b+c)} =\) \(= \frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)} = \frac{b-c}{b+c}\)

б) \(\frac{a+3}{a^2 -1} — \frac{1}{a^2 + a} = \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} — \frac{1}{a(a+1)} = \frac{(a+3)a}{a(a+1)(a-1)} — \frac{a-1}{a(a+1)(a-1)} =\) \(= \frac{a^2 + 3a — a + 1}{a(a+1)(a-1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2}{a(a+1)(a-1)} = \frac{a+1}{a(a-1)}\)

а) В этом выражении нам нужно упростить сумму двух дробей: \(\frac{c}{b-c}\) и \(\frac{b^2 — 3bc}{b^2 — c^2}\). Для начала заметим, что знаменатель второй дроби можно разложить по формуле разности квадратов: \(b^2 — c^2 = (b-c)(b+c)\). Это позволяет привести обе дроби к общему знаменателю \((b-c)(b+c)\). Перепишем первую дробь с этим знаменателем, умножив числитель и знаменатель на \(b+c\), тогда она станет \(\frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)}\). Вторая дробь уже имеет такой знаменатель, поэтому складываем числители: \(c(b+c) + b^2 — 3bc\).

Далее раскрываем скобки в числителе: \(cb + c^2 + b^2 — 3bc\). Группируем похожие слагаемые: \(c^2 + b^2 + cb — 3bc\). Обратите внимание, что \(cb — 3bc = -2bc\), поэтому числитель равен \(c^2 + b^2 — 2bc\). Это выражение можно представить как квадрат разности: \(c^2 — 2bc + b^2 = (b-c)^2\). Таким образом, дробь упрощается до \(\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}\). Сокращаем общий множитель \(b-c\) в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат \(\frac{b-c}{b+c}\).

б) В этом выражении нужно упростить разность двух дробей: \(\frac{a+3}{a^2 — 1}\) и \(\frac{1}{a^2 + a}\). Сначала раскладываем знаменатели на множители. Для первого знаменателя \(a^2 — 1\) используем формулу разности квадратов: \((a-1)(a+1)\). Для второго знаменателя \(a^2 + a\) выносим общий множитель \(a\), получая \(a(a+1)\). Теперь у нас дроби \(\frac{a+3}{(a-1)(a+1)}\) и \(\frac{1}{a(a+1)}\).

Для выполнения вычитания нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(a(a+1)(a-1)\). Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на \(a\), получая \(\frac{(a+3)a}{a(a+1)(a-1)}\). Вторую дробь умножаем на \(a-1\), получая \(\frac{a-1}{a(a+1)(a-1)}\). Теперь вычитаем числители: \((a+3)a — (a-1) = a^2 + 3a — a + 1 = a^2 + 2a + 1\).

Числитель можно представить как квадрат бинома: \((a+1)^2\). Итоговое выражение принимает вид \(\frac{(a+1)^2}{a(a+1)(a-1)}\). Сокращаем общий множитель \(a+1\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{a+1}{a(a-1)}\).