Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 95 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Преобразуйте в дробь выражение:
a) \(\frac{b — 6}{4 — b^2} + \frac{2}{2b — b^2}\),
б) \(\frac{b}{ab — 5a^2} — \frac{15b — 25a}{b^2 — 25a^2}\),
в) \(\frac{x — 12a}{x^2 — 16a^2} — \frac{4a}{4ax — x^2}\),
г) \(\frac{a — 30y}{a^2 — 100y^2} — \frac{10y}{10ay — a^2}\).
а) \(\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2} = \frac{b-6}{(2-b)(2+b)} + \frac{2}{b(2-b)} = \frac{b(b-6)}{b(2-b)(2+b)} + \frac{2(2+b)}{b(2-b)(2+b)} =\) \(= \frac{b^2 — 6b + 4 + 2b}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2 — 4b + 4}{b(2-b)(2+b)} = \frac{(b-2)^2}{b(2-b)(2+b)} = \frac{(b-2)^2}{b(b-2)(2+b)} = \frac{b-2}{b(2+b)}\)
б) \(\frac{b}{ab-5a^2} — \frac{15b-25a}{b^2 — 25a^2} = \frac{b}{a(b-5a)} — \frac{15b-25a}{(b+5a)(b-5a)} = \frac{b(b+5a)}{a(b+5a)(b-5a)} -\) \(- \frac{a(15b-25a)}{a(b+5a)(b-5a)} = \frac{b(b+5a) — a(15b-25a)}{a(b+5a)(b-5a)} = \frac{b^2 + 5ab — 15ab + 25a^2}{a(b+5a)(b-5a)} = \frac{b^2 — 10ab + 25a^2}{a(b+5a)(b-5a)} =\) \(= \frac{(b-5a)^2}{a(b+5a)(b-5a)} = \frac{b-5a}{a(b+5a)}\)
в) \(\frac{x — 12a}{x^2 — 16a^2} + \frac{4a}{4ax — x^2} = \frac{x — 12a}{(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a}{x(4a — x)} = \frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} +\) \(+ \frac{4a}{x(x-4a)(-1)} = \frac{x(x-12a)}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} =\) \(= \frac{x^2 — 12ax + 4ax + 16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2 — 8ax + 16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{(x-4a)^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x-4a}{x(x+4a)}\)
г) \(\frac{a — 30y}{a^2 — 100y^2} + \frac{10y}{10ay — a^2} = \frac{a — 30y}{(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y}{a(10y — a)} = \frac{a — 30y}{(a-10y)(a+10y)} +\) \(+ \frac{10y}{-a(a-10y)} = \frac{a(a-30y)}{a(a-10y)(a+10y)} — \frac{10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2 — 30ay — 10ay — 100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} =\) \(= \frac{a^2 — 40ay — 100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{(a — 10y)^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a — 10y}{a(a+10y)}\)
а) Начинаем с приведения выражения к общему знаменателю. В первом слагаемом знаменатель \(4 — b^2\) раскладываем на множители: \(4 — b^2 = (2 — b)(2 + b)\). Во втором слагаемом знаменатель \(2b — b^2\) можно представить как \(b(2 — b)\). Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю \(b(2 — b)(2 + b)\). Для этого первое слагаемое умножаем на \(b / b\), а второе — на \(\frac{2 + b}{2 + b}\). После этого числители складываем: \(b(b — 6) + 2(2 + b) = b^2 — 6b + 4 + 2b = b^2 — 4b + 4\).
Далее замечаем, что числитель — это квадрат бинома: \(b^2 — 4b + 4 = (b — 2)^2\). Знаменатель записан как \(b(2 — b)(2 + b)\), но \(2 — b = -(b — 2)\), поэтому знаменатель переписываем как \(-b(b — 2)(2 + b)\). Тогда дробь упрощается: \(\frac{(b — 2)^2}{b(2 — b)(2 + b)} = \frac{(b — 2)^2}{-b(b — 2)(2 + b)} = -\frac{b — 2}{b(2 + b)}\). Можно оставить знак минус в числителе или вынести его вперёд. В итоге получаем \(\frac{b — 2}{b(2 + b)}\).
б) Вначале раскладываем знаменатели. Первый знаменатель \(ab — 5a^2\) можно представить как \(a(b — 5a)\). Второй знаменатель \(b^2 — 25a^2\) раскладывается по формуле разности квадратов в \((b — 5a)(b + 5a)\). Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю \(a(b — 5a)(b + 5a)\). Первая дробь умножается на \(\frac{b + 5a}{b + 5a}\), вторая — на \(\frac{a}{a}\).
В числителе получаем разность произведений: \(b(b + 5a) — a(15b — 25a) = b^2 + 5ab — 15ab + 25a^2 = b^2 — 10ab + 25a^2\). Это квадрат разности: \((b — 5a)^2\). Тогда дробь упрощается до \(\frac{(b — 5a)^2}{a(b + 5a)(b — 5a)} = \frac{b — 5a}{a(b + 5a)}\).
в) Сначала раскладываем знаменатели. В первом знаменателе \(x^2 — 16a^2\) видим разность квадратов: \((x — 4a)(x + 4a)\). Во втором знаменателе \(4ax — x^2\) можно вынести \(x\) за скобки и переписать как \(x(4a — x)\), а \(4a — x = -(x — 4a)\). Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю \(x(x — 4a)(x + 4a)\). Первая дробь уже с нужным знаменателем, вторую домножаем на \(\frac{x + 4a}{x + 4a}\) и учитываем знак минуса.
В числителе складываем: \(x(x — 12a) + 4a(x + 4a) = x^2 — 12ax + 4ax + 16a^2 = x^2 — 8ax + 16a^2\). Это квадрат разности: \((x — 4a)^2\). Тогда итоговая дробь: \(\frac{(x — 4a)^2}{x(x — 4a)(x + 4a)} = \frac{x — 4a}{x(x + 4a)}\).
г) Здесь в знаменателях видим разности квадратов и выражения, которые можно упростить. Первый знаменатель \(a^2 — 100y^2\) раскладываем в \((a — 10y)(a + 10y)\). Второй знаменатель \(10ay — a^2 = a(10y — a) = -a(a — 10y)\). Для сложения дробей приводим к общему знаменателю \(a(a — 10y)(a + 10y)\). Вторую дробь умножаем на \(\frac{a + 10y}{a + 10y}\) и учитываем знак минуса.
В числителе складываем: \(a(a — 30y) + 10y(a + 10y) = a^2 — 30ay + 10ay + 100y^2 =\) \(= a^2 — 20ay + 100y^2\). Это квадрат разности: \((a — 10y)^2\). Тогда итоговая дробь: \(\frac{(a — 10y)^2}{a(a — 10y)(a + 10y)} = \frac{a — 10y}{a(a + 10y)}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!