ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 96 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
a) \(\frac{a + 4}{a^2 — 2a} — \frac{a}{a^2 — 4}\),
б) \(\frac{4 — x^2}{16 — x^2} + \frac{x + 1}{x + 4}\),
в) \(\frac{(a + b)^2}{a^2 + ab} + \frac{(a — b)^2}{a^2 — ab}\),
г) \(\frac{x^2 — 4}{5x — 10} — \frac{x^2 + 4x + 4}{5x + 10}\).

а) \(\frac{a+4}{a^2-2a} — \frac{a}{a^2-4} = \frac{a+4}{a(a-2)} — \frac{a}{(a-2)(a+2)} =\) \(= \frac{(a+4)(a+2) — a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 2a + 4a + 8 — a^2}{a(a^2-4)} = \frac{6a+8}{a(a^2-4)}\)

б) \(\frac{4 — x^2}{16 — x^2} — \frac{x+1}{x+4} = \frac{4 — x^2}{(4-x)(4+x)} — \frac{x+1}{x+4} = \frac{4 — x^2 — (x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)} =\) \(= \frac{4 — x^2 — 4x + x^2 — 4 + x}{(4-x)(4+x)} = \frac{-3x}{16 — x^2}\)

в) \(\frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2 — ab} = \frac{(a+b)^2}{a(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{a(a-b)} = \frac{(a+b)^2 (a-b) + (a-b)^2 (a+b)}{a(a-b)(a+b)} =\) \(= \frac{(a+b)(a-b)(a+b + a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{2a (a-b)(a+b)}{a(a-b)(a+b)} = 2\)

г) \(\frac{x^2 — 4}{5x — 10} — \frac{x^2 + 4x + 4}{5x + 10} = \frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} — \frac{(x+2)^2}{5(x+2)} = \frac{x+2}{5} — \frac{x+2}{5} = 0\)

а) В этом выражении мы сначала приводим дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(a^2 — 2a = a(a-2)\), а \(a^2 — 4 = (a-2)(a+2)\). Значит, общий знаменатель будет \(a(a-2)(a+2)\). Переписываем каждую дробь с этим знаменателем: первая дробь умножается на \(\frac{a+2}{a+2}\), вторая — на \(\frac{a}{a}\). Затем раскрываем скобки в числителе первой дроби: \((a+4)(a+2) = a^2 + 2a + 4a + 8 = a^2 + 6a + 8\). Из этого вычитаем \(a^2\) из второй дроби, получая \(a^2 + 6a + 8 — a^2 = 6a + 8\).

Далее сокращаем общий знаменатель, и итоговое выражение принимает вид \(\frac{6a + 8}{a(a^2 — 4)}\). Здесь \(a^2 — 4\) — разложение разности квадратов, что подтверждает правильность приведения к общему знаменателю. В итоге мы упрощаем выражение, сведя его к одной дроби с максимально простым числителем и знаменателем.

б) В этом примере нужно привести дроби к общему знаменателю, используя разложение выражений. Заметим, что \(16 — x^2 = (4 — x)(4 + x)\). Первая дробь уже имеет знаменатель \((4-x)(4+x)\), а вторая дробь знаменатель \(x+4\), который совпадает с \((4+x)\). Чтобы привести к общему знаменателю, вторую дробь умножаем на \(\frac{4-x}{4-x}\). После этого объединяем числители в одну дробь.

Раскрываем скобки в числителе: \(4 — x^2 — (x+1)(4-x) = 4 — x^2 — (4x — x^2 + 4 — x) =\) \(= 4 — x^2 — 4x + x^2 — 4 + x = -3x\). Таким образом, числитель упрощается до \(-3x\), а знаменатель остается \((4-x)(4+x) = 16 — x^2\). Итоговое выражение — \(\frac{-3x}{16 — x^2}\).

в) Здесь рассматривается сумма двух дробей с квадратичными выражениями в числителях и знаменателях. Используем разложения: \(a^2 + ab = a(a+b)\), \(a^2 — ab = a(a-b)\). Тогда дроби переписываются как \(\frac{(a+b)^2}{a(a+b)}\) и \(\frac{(a-b)^2}{a(a-b)}\). Приводим к общему знаменателю \(a(a-b)(a+b)\).

Объединяем числители: \((a+b)^2 (a-b) + (a-b)^2 (a+b)\). Раскрываем скобки и группируем: \((a+b)(a-b)((a+b) + (a-b)) = (a+b)(a-b)(2a)\). Делим на знаменатель \(a(a-b)(a+b)\), сокращая одинаковые множители, получаем \(2\).

г) В этом примере нужно упростить разность дробей с многочленами в числителях и знаменателях. Замечаем, что \(x^2 — 4 = (x-2)(x+2)\), а \(5x — 10 = 5(x-2)\), \(5x + 10 = 5(x+2)\). Переписываем дроби: \(\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} — \frac{(x+2)^2}{5(x+2)}\).

Сокращаем в первой дроби \((x-2)\), во второй — \((x+2)\), получая \(\frac{x+2}{5} — \frac{x+2}{5}\). Разность равна нулю, так как вычитаем одинаковые выражения. Итог: \(0\).