ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 97 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение и найдите его значение при \( x = -1,5 \):
a) \(\frac{x + 1}{x^2 — x} — \frac{x + 2}{x^2 — 1}\),
б) \(\frac{x + 2}{x^2 + 3x} — \frac{1 + x}{x^2 — 9}\).

а) \(\frac{x+1}{x^2 — x} — \frac{x+2}{x^2 — 1} = \frac{x+1}{x(x-1)} — \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)(x+1) — x(x+2)}{x(x-1)(x+1)} =\) \(= \frac{x^2 + 2x + 1 — x^2 — 2x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x^2 — 1)}\)

при \(x = -1,5:\)
\(\frac{1}{-1,5 \cdot ((-1,5)^2 — 1)} = \frac{1}{-1,5 \cdot (2,25 — 1)} = \frac{1}{-1,5 \cdot 1,25} = \frac{1}{- \frac{15}{8}} = — \frac{8}{15}\)

б) \(\frac{x+2}{x^2 + 3x} — \frac{1+x}{x^2 — 9} = \frac{x+2}{x(x+3)} — \frac{1+x}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+2)(x-3) — x(1+x)}{x(x+3)(x-3)} =\) \(= \frac{x^2 — 3x + 2x — 6 — x — x^2}{x(x+3)(x-3)} = \frac{-2x — 6}{x(x+3)(x-3)} = \frac{-2(x+3)}{x(x+3)(x-3)} = \frac{-2}{x(x-3)}\)

при \(x = -1,5:\)
\(\frac{-2}{-1,5 \cdot (-1,5 — 3)} = \frac{-2}{-1,5 \cdot (-4,5)} = \frac{-2}{6,75} = — \frac{200}{675} = — \frac{8}{27}\)

а) Рассмотрим выражение \(\frac{x+1}{x^2 — x} — \frac{x+2}{x^2 — 1}\). Для удобства преобразования сначала разложим знаменатели на множители. Заметим, что \(x^2 — x = x(x-1)\), а \(x^2 — 1 = (x-1)(x+1)\). Тогда выражение перепишется как \(\frac{x+1}{x(x-1)} — \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\). Чтобы выполнить вычитание дробей, приведём их к общему знаменателю, которым будет произведение всех уникальных множителей: \(x(x-1)(x+1)\).

В числителе первой дроби умножаем на \(x+1\), а во второй — на \(x\), чтобы привести к общему знаменателю. Получаем \(\frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} — \frac{(x+2)x}{x(x-1)(x+1)}\). Теперь объединяем числители: \((x+1)^2 — x(x+2) = x^2 + 2x + 1 — (x^2 + 2x) = 1\). Следовательно, выражение упрощается до \(\frac{1}{x(x-1)(x+1)}\). Поскольку \(x^2 — 1 = (x-1)(x+1)\), можно записать итог как \(\frac{1}{x(x^2 — 1)}\).

Подставим теперь \(x = -1,5\). Вычислим знаменатель: \(x^2 — 1 = (-1,5)^2 — 1 = 2,25 — 1 = 1,25\). Тогда знаменатель становится \(x(x^2 — 1) = -1,5 \cdot 1,25 = -1,875\). Искомое значение дроби равно \(\frac{1}{-1,875} = -\frac{8}{15}\), поскольку \(-1,875 = -\frac{15}{8}\). Итоговое значение: \(-\frac{8}{15}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{x+2}{x^2 + 3x} — \frac{1+x}{x^2 — 9}\). Сначала разложим знаменатели: \(x^2 + 3x = x(x+3)\), \(x^2 — 9 = (x-3)(x+3)\). Перепишем выражение с учётом разложения: \(\frac{x+2}{x(x+3)} — \frac{1+x}{(x-3)(x+3)}\). Общий знаменатель будет \(x(x+3)(x-3)\).

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим первую дробь на \(\frac{x-3}{x-3}\), а вторую — на \(\frac{x}{x}\). Получим \(\frac{(x+2)(x-3)}{x(x+3)(x-3)} — \frac{x(1+x)}{x(x+3)(x-3)}\). Объединим числители: \((x+2)(x-3) — x(1+x) = (x^2 — 3x + 2x — 6) — (x + x^2) =\) \(= x^2 — x — 6 — x — x^2 = -2x — 6\).

Итоговое выражение: \(\frac{-2x — 6}{x(x+3)(x-3)}\). Вынесем общий множитель из числителя: \(-2(x+3)\), тогда дробь примет вид \(\frac{-2(x+3)}{x(x+3)(x-3)}\). Сократим множитель \(x+3\) в числителе и знаменателе, получив \(\frac{-2}{x(x-3)}\).

Подставим \(x = -1,5\). Вычислим знаменатель: \(x(x-3) = -1,5 \cdot (-1,5 — 3) = -1,5 \cdot (-4,5) = 6,75\). Тогда значение выражения равно \(\frac{-2}{6,75}\). Приведём к дроби с целыми числами: \(6,75 = \frac{675}{100} = \frac{27}{4}\), тогда \(\frac{-2}{6,75} = -\frac{2}{\frac{27}{4}} = -\frac{2 \cdot 4}{27} = -\frac{8}{27}\). Итоговое значение: \(-\frac{8}{27}\).