ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 98 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(\frac{4}{y+2} — \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 — 4}\);
б) \(\frac{a}{a-6} — \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36 — a^2}\);
в) \(\frac{x^2}{(x-y)^2} — \frac{x+y}{2x-2y}\);
г) \(\frac{b}{(a-b)^2} — \frac{a+b}{b^2 — ab}\).

а) \(\frac{4}{y+2} — \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 — 4} = \frac{4(y-2) — 3(y+2) + 12}{(y+2)(y-2)} = \frac{4y — 8 — 3y — 6 + 12}{(y+2)(y-2)} =\) \(= \frac{y — 2}{(y+2)(y-2)} = \frac{1}{y+2}\);

б) \(\frac{a}{a-6} — \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36 — a^2} = \frac{a(a+6) — 3(a-6) — a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{a^2 + 6a — 3a + 18 — a^2}{(a-6)(a+6)} =\) \(= \frac{3a + 18}{(a-6)(a+6)} = \frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} = \frac{3}{a-6}\);

в) \(\frac{x^2}{(x-y)^2} — \frac{x+y}{2x — 2y} = \frac{x^2}{(x-y)^2} — \frac{x+y}{2(x-y)} = \frac{2x^2 — (x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 — (x^2 — y^2)}{2(x-y)^2} =\) \(= \frac{x^2 + y^2}{2(x-y)^2}\);

г) \(\frac{b}{(a-b)^2} — \frac{a+b}{b^2 — ab} = \frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)} = \frac{b(a-b) + (a+b)(a-b)^2}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} =\) \(= \frac{b^2 + a^2 — b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2}\).

а) Сначала приводим все слагаемые к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели \(y+2\), \(y-2\) и \(y^2 — 4\) связаны, так как \(y^2 — 4 = (y+2)(y-2)\). Значит, общий знаменатель будет \( (y+2)(y-2) \). Преобразуем каждую дробь: первая дробь умножается на \(\frac{y-2}{y-2}\), вторая — на \(\frac{y+2}{y+2}\), третья уже имеет нужный знаменатель. Получаем выражение \(\frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} — \frac{3(y+2)}{(y+2)(y-2)} + \frac{12}{(y+2)(y-2)}\).

Далее раскрываем скобки в числителе: \(4(y-2) = 4y — 8\), \(-3(y+2) = -3y — 6\). Складываем все числители: \(4y — 8 — 3y — 6 + 12 = y — 2\). Итоговое выражение — \(\frac{y-2}{(y+2)(y-2)}\). Сокращаем на \(y-2\), так как это общий множитель числителя и знаменателя, и получаем \(\frac{1}{y+2}\).

б) Здесь нужно привести дроби к общему знаменателю. В знаменателях стоят выражения \(a-6\), \(a+6\) и \(36 — a^2\). Заметим, что \(36 — a^2 = (6 — a)(6 + a) = -(a-6)(a+6)\). Поэтому общий знаменатель — \((a-6)(a+6)\). Приводим каждую дробь к этому знаменателю: первая дробь умножается на \(\frac{a+6}{a+6}\), вторая — на \(\frac{a-6}{a-6}\), третья уже имеет нужный знаменатель с учётом знака.

Раскрываем скобки в числителе: \(a(a+6) = a^2 + 6a\), \(-3(a-6) = -3a + 18\). Складываем числители: \(a^2 + 6a — 3a + 18 — a^2 = 3a + 18\). Итоговое выражение — \(\frac{3a + 18}{(a-6)(a+6)}\). Вынесем общий множитель 3 из числителя: \(\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)}\). Сокращаем на \(a+6\), получаем \(\frac{3}{a-6}\).

в) Выражение содержит дроби с разными знаменателями: \(\frac{x^2}{(x-y)^2}\) и \(\frac{x+y}{2x — 2y}\). Заметим, что \(2x — 2y = 2(x-y)\). Для сложения приведём все дроби к общему знаменателю \(2(x-y)^2\). Первая дробь домножается на \(\frac{2}{2}\), вторая — на \(\frac{x-y}{x-y}\).

Раскрываем числитель: \(2x^2 — (x+y)(x-y) = 2x^2 — (x^2 — y^2) = 2x^2 — x^2 + y^2 = x^2 + y^2\). Итоговая дробь: \(\frac{x^2 + y^2}{2(x-y)^2}\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{b}{(a-b)^2} — \frac{a+b}{b^2 — ab}\). Знаменатель второй дроби раскладываем: \(b^2 — ab = b(b — a) = -b(a — b)\). Перепишем вторую дробь как \(- \frac{a+b}{b(a-b)}\). Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю \(b(a-b)^2\). Первая дробь умножается на \(\frac{b}{b}\), вторая — на \(\frac{a-b}{a-b}\).

Складываем числители: \(b \cdot b — (a+b)(a-b) = b^2 — (a^2 — b^2) = b^2 — a^2 + b^2 = 2b^2 — a^2\). Однако в исходном решении учитывается знак, и правильная запись — \(b^2 + (a+b)(a-b) = b^2 + a^2 — b^2 = a^2\). Итоговая дробь: \(\frac{a^2}{b(a-b)^2}\).