Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 99 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\frac{2a + b}{2a^2 — ab} — \frac{16a}{4a^2 — b^2} — \frac{2a — b}{2a^2 + ab}\);
б) \(\frac{1}{(a-3)^2} + \frac{2}{a^2 — 9} + \frac{1}{(a+3)^2}\);
в) \(\frac{x-2}{x^2 + 2x + 4} — \frac{6x}{x^3 — 8} + \frac{1}{x — 2}\);
г) \(\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} + \frac{3}{a — 1}\).
а) \(\frac{2a + b}{2a^2 — ab} — \frac{16a}{4a^2 — b^2} — \frac{2a — b}{2a^2 + ab} = \frac{2a + b}{a(2a — b)} — \frac{16a}{(2a — b)(2a + b)} -\) \(- \frac{2a — b}{a(2a + b)} = \frac{(2a + b)(2a + b) — 16a^2 — (2a — b)(2a — b)}{a(2a — b)(2a + b)} = \frac{4a^2 + 4ab + b^2 — 16a^2 — 4a^2 + 4ab — b^2}{a(2a — b)(2a + b)} =\) \(= \frac{8ab — 16a^2}{a(2a — b)(2a + b)} = \frac{8a(b — 2a)}{a(2a — b)(2a + b)} = \frac{-8}{(2a + b)}\)
б) \(\frac{1}{(a — 3)^2} — \frac{2}{a^2 — 9} + \frac{1}{(a + 3)^2} = \frac{1}{(a — 3)^2} — \frac{2}{(a — 3)(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)^2} =\) \(= \frac{(a + 3)^2 — 2(a^2 — 9) + (a — 3)^2}{(a — 3)^2 (a + 3)^2} = \frac{a^2 + 6a + 9 — 2a^2 + 18 + a^2 — 6a + 9}{(a — 3)^2 (a + 3)^2} = \frac{36}{(a — 3)^2 (a + 3)^2}\)
в) \(\frac{x — 2}{x^2 + 2x + 4} + \frac{6x}{x^3 — 8} + \frac{1}{x — 2} = \frac{x — 2}{x^2 + 2x + 4} + \frac{6x}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{1}{x — 2} =\) \(= \frac{(x — 2)(x — 2) — 6x + (x^2 + 2x + 4)}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{x^2 — 4x + 4 — 6x + x^2 + 2x + 4}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2x^2 — 8x + 8}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} =\) \(= \frac{2(x — 2)^2}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x — 2)}{x^2 + 2x + 4}\)
г) \(\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} — \frac{3}{a — 1} = \frac{2a^2 + 7a + 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} — \frac{3}{a — 1} =\) \(= \frac{2a^2 + 7a + 3 — (1 — 2a)(a — 1) — 3(a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{2a^2 + 7a + 3 — (a — 1 — 2a^2 + 2a) — 3a^2 — 3a — 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} =\) \(= \frac{2a^2 + 7a + 3 — a + 1 + 2a^2 — 2a — 3a^2 — 3a — 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a^2 + a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{1}{a — 1}\)
а) Начинаем с выражения \(\frac{2a + b}{2a^2 — ab} — \frac{16a}{4a^2 — b^2} — \frac{2a — b}{2a^2 + ab}\). Для упрощения приводим все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(2a^2 — ab = a(2a — b)\), \(4a^2 — b^2 = (2a — b)(2a + b)\), и \(2a^2 + ab = a(2a + b)\). Подставляем эти разложения и получаем общий знаменатель \(a(2a — b)(2a + b)\). Далее приводим числители к общему знаменателю, умножая каждую дробь на необходимые множители, чтобы получить одинаковый знаменатель.
Во втором шаге раскрываем скобки в числителях: \((2a + b)(2a + b) = 4a^2 + 4ab + b^2\), \((2a — b)(2a — b) = 4a^2 — 4ab + b^2\). Подставляем эти выражения и упрощаем числитель: \(4a^2 + 4ab + b^2 — 16a^2 — (4a^2 — 4ab + b^2) =\) \(= 4a^2 + 4ab + b^2 — 16a^2 — 4a^2 + 4ab — b^2\). Сокращаем подобные члены, получая \(8ab — 16a^2\).
Далее выделяем общий множитель \(8a\) в числителе: \(8a(b — 2a)\). Знаменатель остается \(a(2a — b)(2a + b)\). Сокращаем \(a\) в числителе и знаменателе, учитывая знак: \(b — 2a = -(2a — b)\), поэтому итоговое выражение становится \(\frac{-8}{2a + b}\).
б) Рассматриваем выражение \(\frac{1}{(a — 3)^2} — \frac{2}{a^2 — 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}\). Заметим, что \(a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3)\), что позволяет привести дроби к общему знаменателю \((a — 3)^2 (a + 3)^2\). Приводим каждую дробь к общему знаменателю, умножая числители и знаменатели на необходимые множители.
Далее раскрываем скобки в числителе: \((a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9\), \((a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9\), а также раскрываем \(-2(a^2 — 9) = -2a^2 + 18\). Складываем все части числителя: \(a^2 + 6a + 9 — 2a^2 + 18 + a^2 — 6a + 9\). При сложении сокращаются \(6a\) и \(-6a\), а также \(a^2 — 2a^2 + a^2 = 0\), в итоге получается \(36\).
В итоге числитель равен \(36\), а знаменатель \((a — 3)^2 (a + 3)^2\), поэтому результат \(\frac{36}{(a — 3)^2 (a + 3)^2}\).
в) Исходное выражение \(\frac{x — 2}{x^2 + 2x + 4} + \frac{6x}{x^3 — 8} + \frac{1}{x — 2}\). Заметим, что \(x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)\), что позволяет привести дроби к общему знаменателю \((x — 2)(x^2 + 2x + 4)\). Приводим первую и третью дроби к общему знаменателю, умножая числители и знаменатели соответственно.
Раскрываем числитель объединенной дроби: \((x — 2)(x — 2) — 6x + (x^2 + 2x + 4)\). Раскрываем скобки: \(x^2 — 4x + 4 — 6x + x^2 + 2x + 4\). Складываем подобные члены: \(2x^2 — 8x + 8\).
Выносим общий множитель \(2\): \(2(x^2 — 4x + 4)\). Замечаем, что \(x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2\). Подставляем обратно и сокращаем: \(\frac{2(x — 2)^2}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x — 2)}{x^2 + 2x + 4}\).
г) Рассматриваем выражение \(\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} — \frac{3}{a — 1}\). Заметим, что \(a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)\), что позволяет привести дроби к общему знаменателю \((a — 1)(a^2 + a + 1)\).
Приводим все дроби к общему знаменателю и объединяем числители: \(2a^2 + 7a + 3 — (1 — 2a)(a — 1) — 3(a^2 + a + 1)\). Раскрываем скобки: \((1 — 2a)(a — 1) = a — 1 — 2a^2 + 2a\), подставляем и раскрываем: \(2a^2 + 7a + 3 — a + 1 + 2a^2 — 2a — 3a^2 — 3a — 3\).
Складываем подобные члены: \(2a^2 + 2a^2 — 3a^2 = a^2\), \(7a — a — 2a — 3a = a\), \(3 + 1 — 3 = 1\). Итоговый числитель \(a^2 + a + 1\).
Знаменатель остается \((a — 1)(a^2 + a + 1)\), что позволяет сократить на \(a^2 + a + 1\), и остается \(\frac{1}{a — 1}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!