Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 61 Макарычев — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличинное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому – из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
1)
1 ученик
Числа 23, 29
23 – 1 = 22 – не делится на 6
23 + 1 = 24 – делится на 6
29 – 1 = 28 – не делится на 6
29 + 1 = 30 – делится на 6
2 ученик
Числа 61, 67
61 – 1 = 60 – делится на 6
61 + 1 = 62 – не делится на 6
67 – 1 = 66 – делится на 6
67 + 1 = 68 — не делится на 6
2) Справедливость равенства следует из того, что само простое число и числа, уменьшенные и увеличенные на 1, являются тремя последовательными натуральными числами. Известно, что хотя бы одно из них обязательно делится на 3 и хотя бы одно из них является четным, то есть делится на 2. Поэтому одно из этих чисел делится на 6.
3)
6 = 3 · 2
: 2 — четные числа, простые числа, с 5 — нечетные
: 3
⌒
6 7 8
└─────────┘
10 11 [12]
1. Проверка на примерах (для наглядности):
Простые числа из третьего десятка (1 ученик):
— p = 23:
— p — 1 = 23 — 1 = 22 — не делится на 6 (проверка: 22 ÷ 6 = 3.666…).
— p + 1 = 23 + 1 = 24 — делится на 6 (проверка: 24 ÷ 6 = 4).
— p = 29:
— p — 1 = 29 — 1 = 28 — не делится на 6 (проверка: 28 ÷ 6 = 4.666…).
— p + 1 = 29 + 1 = 30 — делится на 6 (проверка: 30 ÷ 6 = 5).
Простые числа из седьмого десятка (2 ученик):
— p = 61:
— p — 1 = 61 — 1 = 60 — делится на 6 (проверка: 60 ÷ 6 = 10).
— p + 1 = 61 + 1 = 62 — не делится на 6 (проверка: 62 ÷ 6 = 10.333…).
— p = 67:
— p — 1 = 67 — 1 = 66 — делится на 6 (проверка: 66 ÷ 6 = 11).
— p + 1 = 67 + 1 = 68 — не делится на 6 (проверка: 68 ÷ 6 = 11.333…).
2. Обсуждение справедливости свойства:
Утверждение:
Справедливость равенства следует из того, что само простое число и числа, уменьшенные и увеличенные на 1, являются тремя последовательными натуральными числами. Давайте разберем это утверждение более подробно.
1) Три последовательных числа:
Простое число \( p \), а также \( p — 1 \) и \( p + 1 \), являются тремя последовательными натуральными числами. Например, если \( p = 23 \), то эти числа будут 22, 23, 24.
2) Делимость на 3:
Среди любых трех последовательных чисел хотя бы одно обязательно делится на 3. Это связано с тем, что натуральные числа идут в порядке:
3k, 3k+1, 3k+2, 3(k+1), …
То есть каждые три числа покрывают все возможные остатки от деления на 3 (0, 1, 2). Например:
— Для \( p = 23 \), \( p + 1 = 24 \) делится на 3.
— Для \( p = 29 \), \( p + 1 = 30 \) делится на 3.
Однако само простое число \( p \) не делится на 3, так как оно больше 3 и не имеет делителей, кроме 1 и самого себя.
3) Делимость на 2 (четность):
Среди любых трех последовательных чисел хотя бы одно обязательно является четным, то есть делится на 2. Это связано с тем, что четные и нечетные числа чередуются. Например:
— Для \( p = 23 \), \( p — 1 = 22 \) делится на 2.
— Для \( p = 29 \), \( p + 1 = 30 \) делится на 2.
4) Делимость на 6:
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Мы уже показали, что среди трех чисел (\( p — 1 \), \( p \), \( p + 1 \)) одно обязательно делится на 3, а другое — на 2. Следовательно, одно из этих чисел обязательно делится на 6.
Пример:
— Для \( p = 23 \):
\( p — 1 = 22 \) (четное, но не делится на 3),
\( p = 23 \) (простое число, нечетное, не делится ни на что),
\( p + 1 = 24 \) (четное и делится на 3). Значит, \( p + 1 \) делится на 6.
— Для \( p = 29 \):
\( p — 1 = 28 \) (четное, но не делится на 3),
\( p = 29 \) (простое число, нечетное, не делится ни на что),
\( p + 1 = 30 \) (четное и делится на 3). Значит, \( p + 1 \) делится на 6.
Таким образом, доказано, что для любого простого числа \( p \), начиная с 5, либо \( p — 1 \), либо \( p + 1 \) делится на 6.
3. Доказательство:
Пусть простое число \( p > 3 \). Тогда оно не делится ни на \(2\), ни на \(3\), так как простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.
Рассмотрим три последовательных числа:
\( p — 1,\,p,\,p + 1 \).
— Одно из этих чисел обязательно делится на \(3\), так как каждые три последовательных числа покрывают все остатки от деления на три (\(0,\,1,\,2\)).
— Одно из этих чисел обязательно делится на \(2\), так как четные и нечетные числа чередуются.
Поскольку число, которое одновременно делится на \(2\) и на \(3\), также делится на их произведение (\(6\)), мы получаем, что либо:
— Число \( p — 1 \) делится на \(6\), либо
— Число \( p + 1 \) делится на \(6\).
Таким образом, утверждение доказано.
Алгебра
