Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 221 Макарычев — Подробные Ответы
Является ли тождеством равенство:
а) |а + 5| = а + 5;
б) |а2 + 4| = а2 + 4;
в) |а − b| − |b − a| = 0;
г) |a + b| − |a| = |b|?
a) \( |a + 5| = a + 5 \) не является
\( a = -7 \)
\( |-2| = -2 \)
\( 2 \neq -2 \)
б) \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \) является
\( a^2 + 4 > 0 \)
в) \( |a — b| — |b — a| = 0 \) является
\( |a — b| = |b — a| \)
г)
\( |a + b| — |a| — |b| \) не является
\( |a + b| = |a| + |b| \)
а) \( |a + 5| = a + 5 \)
Рассмотрим, когда модуль числа равен самому числу.
По определению модуля:
\(
|x| =
\begin{cases}
x, & \text{если } x \geq 0, \\
-x, & \text{если } x < 0.
\end{cases}
\)
Значит, \( |a + 5| = a + 5 \) верно только тогда, когда \( a + 5 \geq 0 \), то есть \( a \geq -5 \).
Если \( a < -5 \), то модуль раскрывается с противоположным знаком:
\(
|a + 5| = -(a + 5) = -a — 5.
\)
Пример проверки:
— Для \( a = -7 \):
\(
|a + 5| = |-7 + 5| = |-2| = 2, \quad a + 5 = -7 + 5 = -2.
\)
Здесь \( |a + 5| \neq a + 5 \), значит, равенство не является тождеством.
Вывод: \( |a + 5| = a + 5 \) не является тождеством, так как оно выполняется только при \( a \geq -5 \).
б) \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \)
По определению модуля:
\(
|x| = x, \quad \text{если } x \geq 0.
\)
Выражение \( a^2 + 4 \) всегда больше нуля, так как:
1. Квадрат любого числа (\( a^2 \)) всегда неотрицателен (\( a^2 \geq 0 \)).
2. К этому значению прибавляется положительное число 4 (\( a^2 + 4 > 0 \)).
Следовательно, модуль \( |a^2 + 4| \) всегда равен самому выражению \( a^2 + 4 \).
Пример проверки:
— Для любого значения \( a \), например, \( a = -2 \):
\(
|a^2 + 4| = |(-2)^2 + 4| = |4 + 4| = |8| = 8.
\)
И \( a^2 + 4 = (-2)^2 + 4 = 8. \)
Вывод: \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \) является тождеством.
в) \( |a — b| — |b — a| = 0 \)
По свойству модуля:
\(
|x — y| = |y — x|.
\)
Значит, для любых \( a \) и \( b \):
\(
|a — b| = |b — a|.
\)
Следовательно:
\(
|a — b| — |b — a| = 0.
\)
Пример проверки:
— Для \( a = 3, b = 7 \):
\(
|a — b| = |3 — 7| = |-4| = 4, \quad |b — a| = |7 — 3| = |4| = 4.
\)
Разность:
\(
|a — b| — |b — a| = 4 — 4 = 0.
\)
Вывод: \( |a — b| — |b — a| = 0 \) является тождеством.
г) \( |a + b| — |a| = |b| \)
Для проверки рассмотрим пример:
— Пусть \( a = -3, b = 3 \):
\(
|a + b| = |-3 + 3| = |0| = 0, \quad |a| = |-3| = 3, \quad |b| = |3| = 3.
\)
Тогда:
\(
|a + b| — |a| = 0 — 3 = -3, \text{а это не равно} |b|.
\)
Следовательно, равенство не выполняется для всех значений \( a \) и \( b \).
Вывод: \( |a + b| — |a| = |b| \) не является тождеством.
Алгебра
