ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 345 Макарычев — Подробные Ответы

Постройте график функции:

a) \(
y =
\begin{cases}
-x, & \text{если } x < -1, \\
x, & \text{если } x \geq -1;
\end{cases}
\)

б) \(
y =
\begin{cases}
2x, & \text{если } -1 \leq x < 1, \\
3 — x, & \text{если } 1 \leq x \leq 4.
\end{cases}
\)

а) \( y =
\begin{cases}
-x, & \text{если } x < -1, \\
x, & \text{если } x \geq -1.
\end{cases} \)

Шаг 1: Понять, из каких частей состоит функция

Функция задана двумя кусками, и для разных значений \(x\) используются разные формулы:

— Если \(x < -1\) → используем \(y = -x\)
— Если \(x \geq -1\) → используем \(y = x\)

Теперь пойдём по каждому случаю отдельно.

Шаг 2: Построим график при \(x < -1\)

Берём формулу \(y = -x\).

— Это стандартная прямая. У неё наклон положительный (так как минус перед \(x\) меняет знак).
— Примеры точек:
— Если \(x = -5\), то \(y = -(-5) = 5\)
— Если \(x = -3\), то \(y = -(-3) = 3\)
— Если \(x = -2\), то \(y = -(-2) = 2\)
— Если \(x = -1.1\), то \(y = 1.1\)
— Важно: \(x = -1\) сюда не входит, поэтому на графике нужно поставить пустую точку (вырожденную) в этой границе.

Шаг 3: Построим график при \(x \geq -1\)

Формула теперь другая: \(y = x\).

— Это тоже стандартная прямая, но уже с наклоном 45° вверх, проходит через начало координат.
— Примеры точек:
— Если \(x = -1\), то \(y = -1\)
— Если \(x = 0\), то \(y = 0\)
— Если \(x = 1\), то \(y = 1\)
— Важно: здесь \(x = -1\) включается → ставим закрашенную точку в точке \((-1, -1)\).

Разрыв

В точке \(x = -1\) происходит скачок (разрыв):

— Подходим к точке слева (через формулу \(y = -x\)) → получаем \(y = 1\).
— Подходим справа (через формулу \(y = x\)) → получаем \(y = -1\).

То есть график перепрыгивает в этой точке — это называется разрыв первого рода.

Промежуточный итог:

— Первая часть: линия от \(-∞\) до \(-1\) по формуле \(y = -x\), без точки на конце.
— Вторая часть: линия от \(-1\) и далее по формуле \(y = x\), с точкой в \(-1\).
— В точке \(-1\) — разрыв.

б) \( y =
\begin{cases}
2x, & \text{если } -1 \leq x < 1, \\
3 — x, & \text{если } 1 \leq x \leq 4.
\end{cases} \)

Шаг 1: Анализ кусочков

Опять два куска:

— Первый: \(y = 2x\) для \(-1 \leq x < 1\).
— Второй: \(y = 3 — x\) для \(1 \leq x \leq 4\).

Обрати внимание: здесь оба промежутка включают свои концы — кроме точки \(x = 1\), которая не входит в первый кусок, но входит во второй.

Шаг 2: Строим график \(y = 2x\) при \(-1 \leq x < 1\)

— Это прямая, более крутая (наклон 2), чем обычная \(y = x\).
— Примеры точек:
— \(x = -1\) → \(y = -2\) → точка включается (рисуем её закрашенной).
— \(x = 0\) → \(y = 0\).
— \(x = 0.9\) → \(y = 1.8\).
— \(x = 1\) сюда не входит → ставим пустую точку в точке \((1, 2)\).

Шаг 3: Строим график \(y = 3 — x\) при \(1 \leq x \leq 4\)

— Это убывающая прямая (наклон -1).
— Примеры точек:
— \(x = 1\) → \(y = 2\) → точка включается (рисуем закрашенной).
— \(x = 2\) → \(y = 1\).
— \(x = 3\) → \(y = 0\).
— \(x = 4\) → \(y = -1\).

Проверка на разрыв

Посмотрим, что происходит в точке \(x = 1\):

— Слева \(x → 1^{-}\): \(y = 2x → 2\).
— Справа \(x = 1\): \(y = 3 — 1 = 2\).

Обе части сходятся к одному значению → функция непрерывна в точке \(x = 1\). Просто формула меняется, но график остаётся целым.

— Первая часть — прямая от \(-1\) до чуть меньше 1, включая \(-1\), не включая 1.
— Вторая часть — от 1 до 4, включая обе точки.
— В точке \(x = 1\) гладкий переход, нет разрыва.