ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 465 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \(\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}\);

б) \(\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}\);

в) \(\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}\);

г) \(\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}\);

д) \(\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}\);

е) \(\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}\);

ж) \(\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}\);

з) \(\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}\).

а) \(\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} = \frac{2^5 \cdot 2^{12}}{2^{13}} = \frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^4 = 16\)

б) \(\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} = \frac{5^{16} \cdot 5^7}{5^{22}} = \frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^1 = 5\)

в) \(\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4} = \frac{2^{10}}{2^6 \cdot 2^2} = \frac{2^{10}}{2^8} = 2^2 = 4\)

г) \(\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} = \frac{3^7 \cdot 3^3}{3^{12}} = \frac{3^{10}}{3^{12}} = \frac{1}{3^-2} = \frac{1}{9}\)

д) \(\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} = \frac{5^8 \cdot 5^2}{5^9} = \frac{5^{10}}{5^9} = 5^1 = 5\)

е) \(\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2} = \frac{7^9 \cdot 7^2}{7^{10}} = \frac{7^{11}}{7^{10}} = 7^1 = 7\)

ж) \(\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9} = \frac{3^{11} \cdot 3^3}{3^{12} \cdot 3^2} = \frac{3^{14}}{3^{14}} = 3^0 = 1\)

з) \(\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3} = \frac{11^6}{11^2 \cdot 11^3} = \frac{11^6}{11^5} = 11^1 = 11\)

а) \(\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}\)

1. Упрощение \((2^3)^4\): Используем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Следовательно, \((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}\).

2. Подстановка в исходное выражение: Теперь выражение выглядит так: \(\frac{2^5 \cdot 2^{12}}{2^{13}}\).

3. Сложение показателей в числителе: По правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), получаем \(2^5 \cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17}\).

4. Вычитание показателей при делении: Используем правило деления степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Таким образом, \(\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4\).

5. Вычисление степени: \(2^4 = 16\).

б) \(\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}\)

1. Упрощение \((5^8)^2\): Применяем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Таким образом, \((5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}\).

2. Подстановка в выражение: Теперь у нас есть \(\frac{5^{16} \cdot 5^7}{5^{22}}\).

3. Сложение показателей в числителе: \(5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}\).

4. Вычитание показателей при делении: \(\frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1\).

5. Вычисление степени: \(5^1 = 5\).

в) \(\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}\)

1. Упрощение \((2^5)^2\): Применяем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Таким образом, \((2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}\).

2. Замена числа 4: Поскольку \(4 = 2^2\), выражение становится \(2^6 \cdot 4 = 2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8\).

3. Подстановка в выражение: Теперь у нас есть \(\frac{2^{10}}{2^8}\).

4. Вычитание показателей при делении: \(\frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2\).

5. Вычисление степени: \(2^2 = 4\).

г) \(\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}\)

1. Замена числа 27: Поскольку \(27 = 3^3\), выражение становится \(3^7 \cdot 27 = 3^7 \cdot 3^3\).

2. Упрощение числителя: По правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), получаем \(3^7 \cdot 3^3 = 3^{7+3} = 3^{10}\).

3. Упрощение знаменателя: Используем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Таким образом, \((3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}\).

4. Вычитание показателей при делении: \(\frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2}\).

5. Преобразование отрицательной степени: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).

д) \(\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}\)

1. Упрощение \((5^2)^4\): Используем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Таким образом, \((5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8\).

2. Замена 25 на степень пятерки: Поскольку \(25 = 5^2\), мы можем заменить 25 в числителе: \(5^8 \cdot 25 = 5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}\).

3. Подстановка в выражение: Теперь у нас есть \(\frac{5^{10}}{5^9}\).

4. Вычитание показателей: Используем правило деления степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Таким образом, \(\frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1\).

5. Вычисление степени: \(5^1 = 5\).

е) \(\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}\)

1. Упрощение \((7^3)^3\): Используем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Таким образом, \((7^3)^3 = 7^{3 \cdot 3} = 7^9\).

2. Подстановка в выражение: Теперь у нас есть \(\frac{7^9 \cdot 7^2}{(7^5)^2}\).

3. Замена знаменателя: \((7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}\).

4. Сложение показателей в числителе: \(7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11}\).

5. Вычитание показателей: Используем правило деления степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Таким образом, \(\frac{7^{11}}{7^{10}} = 7^{11-10} = 7^1\).

6. Вычисление степени: \(7^1 = 7\).

ж) \(\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}\)

1. Замена чисел на степени тройки: \(27 = 3^3\) и \(9 = 3^2\).

2. Подстановка в выражение: Получаем \(\frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^4)^3 \cdot 3^2}\).

3. Упрощение знаменателя: \((3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}\).

4. Сложение показателей в числителе: \(3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}\).

5. Сложение показателей в знаменателе: \(3^{12} \cdot 3^2 = 3^{12+2} = 3^{14}\).

6. Вычитание показателей: Используем правило деления степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Таким образом, \(\frac{3^{14}}{3^{14}} = 3^{14-14} = 3^0\).

7. Вычисление степени: \(3^0 = 1\).

з) \(\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}\)

1. Упрощение числителя: Используем правило степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Таким образом, \((11^2)^3 = 11^{2 \cdot 3} = 11^6\).

2. Подстановка в выражение: Теперь у нас есть \(\frac{11^6}{11^2 \cdot 11^3}\).

3. Сложение показателей в знаменателе: \(11^2 \cdot 11^3 = 11^{2+3} = 11^5\).

4. Вычитание показателей: Используем правило деления степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Таким образом, \(\frac{11^6}{11^5} = 11^{6-5} = 11^1\).

5. Вычисление степени: \(11^1 = 11\).