Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 506 Макарычев — Подробные Ответы
В одной и той же системе координат постройте графики функций \( y = x^2 \) и \( y = x^3 \), где \( x \ge 0 \). Используя построенные графики, сравните: a) \( 0,6^2 \) и \( 0,6^3 \); б) \( 1,5^2 \) и \( 1,5^3 \); в) \( 2,7^2 \) и \( 2,7^3 \).
a) \(0,6^2 > 0,6^3\)
б) \(1,5^2 < 1,5^3\)
в) \(2,7^2 < 2,7^3\)
Шаг 1. Анализ функций
Функция \( y = x^2 \)
— Это квадратичная функция.
— График представляет собой параболу с вершиной в начале координат — в точке \( (0, 0) \).
— Поскольку рассматривается только область \( x \ge 0 \), график будет включать только правую ветвь параболы.
— Значения функции увеличиваются при увеличении \( x \), причём скорость увеличения также возрастает.
Функция \( y = x^3 \)
— Это кубическая функция.
— График проходит через точку \( (0, 0) \) и непрерывно возрастает при \( x \ge 0 \).
— При малых значениях \( x \) функция \( x^3 \) увеличивается медленнее, чем \( x^2 \), но при больших \( x \) начинает расти быстрее.
Шаг 2. Составление таблицы значений
Чтобы построить графики, необходимо определить значения функций при различных значениях аргумента. Ниже представлена таблица значений:
| x | y = x² | y = x³ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0.5 | 0.25 | 0.125 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1.5 | 2.25 | 3.375 |
| 2 | 4 | 8 |
| 2.5 | 6.25 | 15.625 |
| 3 | 9 | 27 |
Значения рассчитаны следующим образом:
— Для \( x = 0.5 \):
\( x^2 = 0.5^2 = 0.25 \),
\( x^3 = 0.5^3 = 0.125 \).
— Для \( x = 2 \):
\( x^2 = 2^2 = 4 \),
\( x^3 = 2^3 = 8 \).
И так далее для остальных значений.
Шаг 3. Построение координатной плоскости
1. На бумаге или в графическом редакторе следует начертить систему координат: горизонтальную ось \( x \) и вертикальную ось \( y \).
2. Отметить начало координат — точку \( (0, 0) \).
3. Выбрать масштаб:
— Например, по оси \( x \): 1 клетка = 0.5.
— По оси \( y \): 1 клетка = 1 (чтобы вместить значения до 27).
Шаг 4. Построение точек графика
Для функции \( y = x^2 \)
Поставить точки:
— \( (0, 0) \)
— \( (0.5, 0.25) \)
— \( (1, 1) \)
— \( (1.5, 2.25) \)
— \( (2, 4) \)
— \( (2.5, 6.25) \)
— \( (3, 9) \)
После этого соединить точки плавной кривой, направленной вверх — это будет правая ветвь параболы.
Для функции \( y = x^3 \)
Поставить точки:
— \( (0, 0) \)
— \( (0.5, 0.125) \)
— \( (1, 1) \)
— \( (1.5, 3.375) \)
— \( (2, 8) \)
— \( (2.5, 15.625) \)
— \( (3, 27) \)
Соединить точки плавной возрастающей кривой. График будет идти выше параболы при больших значениях \( x \).
Шаг 5. Сравнение значений
а) 0,6² и 0,6³
— Находим точку x = 0,6.
— По синему графику (x²) поднимаемся вверх — примерно до 0,36.
— По зелёному графику (x³) — до 0,216.
— Видно, что синяя линия выше зелёной.
— Значит: 0,6² > 0,6³.
б) 1,5² и 1,5³
— Находим x = 1,5.
— x² = 2,25, x³ = 3,375.
— Зелёная линия выше синей — значит: 1,5² < 1,5³.
в) 2,7² и 2,7³
— x² = 7,29, x³ = 19,683.
— Разница ещё больше, и зелёный график заметно выше.
— Значит: 2,7² < 2,7³.
Шаг 6. Почему так происходит
— Когда x меньше 1 (например, 0,6), возведение в квадрат уменьшает число, но возведение в куб уменьшает его ещё сильнее. Поэтому квадрат больше.
— При x = 1 значения равны.
— Когда x больше 1, куб растёт быстрее, потому что умножается ещё раз на само число. Например:
— 2² = 4, но 2³ = 8
— 3² = 9, но 3³ = 27
Разница становится всё больше при росте x.
Алгебра
